Anschauliche Vorstellung
Eine Funktion \(f\) ist stetig an einer Stelle \(x_0\), wenn der Graph an dieser Stelle keinen Sprung, keine Lücke und keinen „Ausreißer" hat.
Stetig = „keine Überraschungen": Wenn \(x\) sich \(x_0\) nähert, nähert sich \(f(x)\) dem Wert \(f(x_0)\).
Stetig: Die Temperatur im Tagesverlauf – sie ändert sich kontinuierlich, ohne plötzliche Sprünge.
Unstetig: Der Strompreis bei Tarifwechsel um Mitternacht – er springt von einem Wert auf einen anderen.
Formale Definition
Die mathematisch exakte Definition der Stetigkeit verwendet Grenzwerte:
Drei Bedingungen müssen gleichzeitig erfüllt sein
Die drei Bedingungen im Detail:
- \(f(x_0)\) ist definiert (die Stelle gehört zum Definitionsbereich)
- \(\lim_{x \to x_0} f(x)\) existiert (links- und rechtsseitiger Grenzwert sind gleich)
- Grenzwert und Funktionswert stimmen überein
Stetig auf einem Intervall: \(f\) heißt stetig auf \([a, b]\), wenn \(f\) an jeder Stelle des Intervalls stetig ist.
Wichtige stetige Funktionen
Viele bekannte Funktionen sind auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig:
| Funktionstyp | Beispiel | Stetig auf |
|---|---|---|
| Polynomfunktionen | \(f(x) = x^3 - 2x + 1\) | \(\mathbb{R}\) |
| Exponentialfunktionen | \(f(x) = e^x\) | \(\mathbb{R}\) |
| Sinusfunktion | \(f(x) = \sin(x)\) | \(\mathbb{R}\) |
| Kosinusfunktion | \(f(x) = \cos(x)\) | \(\mathbb{R}\) |
| Wurzelfunktion | \(f(x) = \sqrt{x}\) | \([0, \infty)\) |
Rechenregeln für stetige Funktionen: Sind \(f\) und \(g\) stetig, dann sind auch \(f + g\), \(f \cdot g\), \(\frac{f}{g}\) (wo \(g \neq 0\)) und \(f \circ g\) stetig.
Typen von Unstetigkeitsstellen
Wenn eine Funktion nicht stetig ist, unterscheidet man verschiedene Typen:
Links- und rechtsseitiger Grenzwert existieren, sind aber verschieden.
Beispiel: \(f(x) = \begin{cases} 1 & \text{für } x < 0 \\ 3 & \text{für } x \geq 0 \end{cases}\)
Hier ist \(\lim_{x \to 0^-} f(x) = 1 \neq 3 = \lim_{x \to 0^+} f(x)\).
Der Grenzwert existiert, aber der Funktionswert stimmt nicht überein (oder ist nicht definiert).
Beispiel: \(f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}\) an der Stelle \(x_0 = 1\)
Für \(x \neq 1\): \(f(x) = \frac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x + 1\), also \(\lim_{x \to 1} f(x) = 2\).
Man kann die Lücke „heben", indem man \(f(1) = 2\) definiert.
Der Funktionswert geht gegen \(\pm\infty\).
Beispiel: \(f(x) = \frac{1}{x}\) an der Stelle \(x_0 = 0\)
Zwischenwertsatz
Der Zwischenwertsatz ist eine wichtige Folgerung aus der Stetigkeit:
Ist \(f\) stetig auf \([a, b]\) und gilt \(f(a) < 0\) und \(f(b) > 0\) (oder umgekehrt), dann hat \(f\) mindestens eine Nullstelle in \((a, b)\).
Beispiel: \(f(x) = x^3 - 2\): \(f(1) = -1 < 0\) und \(f(2) = 6 > 0\)
→ Es gibt eine Nullstelle in \((1, 2)\), nämlich \(x = \sqrt[3]{2} \approx 1{,}26\).
Übungen
Welche der folgenden Funktionen ist auf ganz \(\mathbb{R}\) stetig?
Was muss gelten, damit \(f\) an der Stelle \(x_0\) stetig ist?
\(f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}\) hat an \(x_0 = 2\) welche Art von Unstetigkeitsstelle?
\(f(x) = x^3 - 4x\). Es gilt \(f(1) = -3\) und \(f(3) = 15\). Was folgt aus dem Zwischenwertsatz?
Welche Aussage ist richtig?