Krümmungsverhalten
Die zweite Ableitung \(f''(x)\) beschreibt die Krümmung des Graphen:
Krümmungskriterium:
- \(f''(x) > 0\): Linkskrümmung („Talform" – der Graph liegt oberhalb seiner Tangenten)
- \(f''(x) < 0\): Rechtskrümmung („Bergform" – der Graph liegt unterhalb seiner Tangenten)
Merkregel: "Linkskurve = Lachen (Mund nach oben), Rechtskurve = Regen (Mund nach unten)."
Wendepunkte bestimmen
Ein Wendepunkt ist ein Punkt, an dem sich das Krümmungsverhalten ändert.
Notwendige Bedingung:
\[f''(x_0) = 0\]
Hinreichende Bedingung:
\[f''(x_0) = 0 \text{ und } f'''(x_0) \neq 0\]
Alternativ: Man kann auch den Vorzeichenwechsel von \(f''(x)\) an der Stelle \(x_0\) prüfen. Wenn \(f''(x)\) das Vorzeichen wechselt, liegt ein Wendepunkt vor.
Sattelpunkt
Ein Sattelpunkt (auch Terrassenpunkt) ist ein Wendepunkt, bei dem gleichzeitig eine waagrechte Tangente vorliegt.
Bedingungen für einen Sattelpunkt:
\[f'(x_0) = 0 \text{ und } f''(x_0) = 0 \text{ und } f'''(x_0) \neq 0\]
\(f'(x) = 3x^2\), \(f'(0) = 0\) (waagrechte Tangente)
\(f''(x) = 6x\), \(f''(0) = 0\) (kein Extremum!)
\(f'''(x) = 6\), \(f'''(0) = 6 \neq 0\) (Wendepunkt bestätigt)
Der Punkt \(S(0 | 0)\) ist ein Sattelpunkt: Es ist ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente, aber kein Extremum.
Wichtig: Ein Sattelpunkt sieht im Graphen aus wie eine "Stufe" -- die Funktion steigt, wird kurz flach und steigt dann weiter (oder umgekehrt). Es ist kein Maximum und kein Minimum!
Wendetangente
Die Tangente an den Graphen im Wendepunkt heißt Wendetangente. Sie wird manchmal bei der Kurvendiskussion mitberechnet.
Übungen
Wenn \(f''(x) > 0\), dann ist der Graph...
Welche notwendige Bedingung muss für einen Wendepunkt gelten?
Berechne den Wendepunkt von \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\).
Was ist ein Sattelpunkt?
Wie viele Wendepunkte hat \(f(x) = x^4 - 6x^2\)?