Unendliche Integrationsgrenzen
Wenn eine oder beide Integrationsgrenzen gegen unendlich gehen, spricht man von einem uneigentlichen Integral. Es wird als Grenzwert eines bestimmten Integrals definiert.
Existiert der Grenzwert, heißt das Integral konvergent. Sonst divergent.
\(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx = \lim_{b \to \infty} \int_1^b x^{-2}\,dx = \lim_{b \to \infty} \Big[-\frac{1}{x}\Big]_1^b = \lim_{b \to \infty} \left(-\frac{1}{b} + 1\right) = 0 + 1 = 1\)
Das Integral konvergiert und hat den Wert 1. Die Fläche unter \(\frac{1}{x^2}\) ab \(x = 1\) ist also endlich!
\(\int_1^{\infty} \frac{1}{x}\,dx = \lim_{b \to \infty} \Big[\ln|x|\Big]_1^b = \lim_{b \to \infty} (\ln b - \ln 1) = \lim_{b \to \infty} \ln b = \infty\)
Das Integral divergiert. Die Fläche unter \(\frac{1}{x}\) ab \(x = 1\) ist unendlich groß.
Konvergenz und Divergenz
Ein wichtiges Kriterium für die Konvergenz ist die p-Regel:
| Integral | Ergebnis | Konvergenz |
|---|---|---|
| \(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^3}\,dx\) | \(\frac{1}{2}\) | konvergent (\(p = 3 > 1\)) |
| \(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^2}\,dx\) | \(1\) | konvergent (\(p = 2 > 1\)) |
| \(\int_1^{\infty} \frac{1}{x}\,dx\) | \(\infty\) | divergent (\(p = 1\)) |
| \(\int_1^{\infty} \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx\) | \(\infty\) | divergent (\(p = \frac{1}{2} < 1\)) |
Unbeschränkte Integranden
Auch wenn der Integrand an einer Stelle des Integrationsintervalls unbeschränkt ist (z. B. eine Polstelle), liegt ein uneigentliches Integral vor.
\(\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{x}}\,dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \int_{\varepsilon}^1 x^{-1/2}\,dx = \lim_{\varepsilon \to 0^+} \Big[2\sqrt{x}\Big]_{\varepsilon}^1 = \lim_{\varepsilon \to 0^+} (2 - 2\sqrt{\varepsilon}) = 2\)
Obwohl \(\frac{1}{\sqrt{x}}\) bei \(x = 0\) unbeschränkt ist, konvergiert das Integral.
Anwendung: Wahrscheinlichkeitsdichte
In der Stochastik müssen stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen über \(\mathbb{R}\) die Bedingung erfüllen:
Die gesamte Fläche unter der Dichtefunktion muss 1 sein.
Übungen
Was bedeutet es, wenn ein uneigentliches Integral „konvergiert"?
Konvergiert oder divergiert \(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^3}\,dx\)?
Berechne \(\int_0^{\infty} e^{-x}\,dx\).
Für welche Werte von \(p\) konvergiert \(\int_1^{\infty} \frac{1}{x^p}\,dx\)?