Definition der Stammfunktion
\(F(x)\) heißt Stammfunktion von \(f(x)\), wenn für alle \(x\) im Definitionsbereich gilt:
Die Ableitung der Stammfunktion ergibt die ursprüngliche Funktion.
\(f(x) = 3x^2\). Eine Stammfunktion ist \(F(x) = x^3\), denn \(F'(x) = 3x^2 = f(x)\). ✓
Aber auch \(F(x) = x^3 + 7\) ist eine Stammfunktion, denn \((x^3 + 7)' = 3x^2\). ✓
Das unbestimmte Integral
Die Menge aller Stammfunktionen von \(f(x)\) wird als unbestimmtes Integral geschrieben:
\(C \in \mathbb{R}\) ist die Integrationskonstante.
Warum \(+ C\)? Da die Ableitung einer Konstante 0 ist, hat jede Funktion unendlich viele Stammfunktionen, die sich nur um eine Konstante \(C\) unterscheiden. Die allgemeine Stammfunktion enthält daher immer \(+ C\).
\(\int 4x^3\,dx = x^4 + C\)
Probe: \((x^4 + C)' = 4x^3\) ✓
Anfangswertproblem
Durch eine Anfangsbedingung (z. B. \(F(x_0) = y_0\)) kann die Integrationskonstante \(C\) eindeutig bestimmt werden.
Gesucht: Stammfunktion von \(f(x) = 2x\) mit \(F(1) = 5\).
\(F(x) = \int 2x\,dx = x^2 + C\)
Anfangsbedingung einsetzen: \(F(1) = 1^2 + C = 5 \Rightarrow C = 4\)
Ergebnis: \(F(x) = x^2 + 4\)
Zusammenhang mit der Ableitung
Ableitung und Integration sind Umkehroperationen:
| Ableitung (Differenzieren) | Integration (Aufleiten) |
|---|---|
| \(f(x) \to f'(x)\) | \(f(x) \to F(x) + C\) |
| Steigung bestimmen | Fläche bestimmen |
| Ergebnis ist eindeutig | Ergebnis enthält \(+ C\) |
Merke: Die Ableitung der Stammfunktion ergibt die Ausgangsfunktion: \(\frac{d}{dx}\int f(x)\,dx = f(x)\).
Übungen
Was ist \(\int 5\,dx\)?
Berechne \(\int 6x^2\,dx\).
Warum schreibt man bei unbestimmten Integralen immer \(+ C\)?
Bestimme die Stammfunktion von \(f(x) = 4x\) mit \(F(2) = 10\).
Berechne \(\int (3x^2 - 4x + 1)\,dx\).