Fläche zwischen Kurve und \(x\)-Achse
Liegt der Graph von \(f\) im Intervall \([a, b]\) vollständig oberhalb der \(x\)-Achse, so ist die Fläche gleich dem bestimmten Integral:
Liegt der Graph unterhalb der \(x\)-Achse, ist das Integral negativ. Die Fläche erhält man durch den Betrag:
\(f(x) = x^2\) im Intervall \([0, 3]\).
\(A = \int_0^3 x^2\,dx = \Big[\frac{x^3}{3}\Big]_0^3 = \frac{27}{3} - 0 = 9\)
Fläche bei Vorzeichenwechsel
Wenn der Graph die \(x\)-Achse im Intervall \([a, b]\) schneidet, muss man die Fläche abschnittsweise berechnen.
In der Praxis: Nullstellen bestimmen und die Teilflächen getrennt berechnen.
\(f(x) = x^2 - 4\) im Intervall \([0, 3]\). Nullstelle: \(x = 2\).
Auf \([0, 2]\): \(f(x) \leq 0\) (Graph unterhalb)
Auf \([2, 3]\): \(f(x) \geq 0\) (Graph oberhalb)
\(A = \left|\int_0^2 (x^2 - 4)\,dx\right| + \int_2^3 (x^2 - 4)\,dx\)
\(= \left|\Big[\frac{x^3}{3} - 4x\Big]_0^2\right| + \Big[\frac{x^3}{3} - 4x\Big]_2^3\)
\(= \left|\frac{8}{3} - 8\right| + \left[(9 - 12) - (\frac{8}{3} - 8)\right] = \frac{16}{3} + \frac{7}{3} = \frac{23}{3} \approx 7{,}67\)
Fläche zwischen zwei Kurven
Die Fläche zwischen den Graphen von \(f\) und \(g\) im Intervall \([a, b]\) berechnet man durch Integration der Differenz:
Wenn \(f(x) \geq g(x)\) auf \([a, b]\): \(A = \int_a^b [f(x) - g(x)]\,dx\)
\(f(x) = 4 - x^2\) und \(g(x) = x\). Schnittpunkte: \(4 - x^2 = x \Rightarrow x^2 + x - 4 = 0\)
Lösungen (Lösungsformel): \(x_1 = \frac{-1 - \sqrt{17}}{2} \approx -2{,}56\), \(x_2 = \frac{-1 + \sqrt{17}}{2} \approx 1{,}56\)
Im Intervall \([x_1, x_2]\) gilt \(f(x) \geq g(x)\), also:
\(A = \int_{x_1}^{x_2} [(4 - x^2) - x]\,dx = \int_{x_1}^{x_2} (4 - x - x^2)\,dx\)
Vorgehensweise bei Flächen zwischen zwei Kurven:
1. Schnittpunkte von \(f\) und \(g\) berechnen
2. Prüfen, welche Funktion im Intervall oben liegt
3. Integral der Differenz (obere minus untere Funktion) berechnen
Übungen
Berechne die Fläche zwischen \(f(x) = 3x\) und der \(x\)-Achse im Intervall \([0, 4]\).
\(f(x) = x^2 - 1\) im Intervall \([-1, 1]\). Der Graph liegt unterhalb der \(x\)-Achse. Wie berechnet man die Fläche?
Wie berechnet man die Fläche zwischen \(f(x) = x^2\) und \(g(x) = x\)?
Berechne die Fläche zwischen \(f(x) = x^2\) und \(g(x) = 4\).
\(f(x) = \sin(x)\) im Intervall \([0, 2\pi]\). Wie groß ist die tatsächliche Fläche?