Zehnerpotenzen
Eine Zehnerpotenz ist eine Potenz mit der Basis 10. Der Exponent gibt an, wie viele Nullen der Zahl 1 folgen (bei positivem Exponenten) oder um wie viele Stellen das Komma nach links verschoben wird (bei negativem Exponenten).
| Potenz | Wert | Name |
|---|---|---|
| \(10^6\) | \(1\,000\,000\) | eine Million |
| \(10^3\) | \(1\,000\) | eintausend |
| \(10^2\) | \(100\) | einhundert |
| \(10^1\) | \(10\) | zehn |
| \(10^0\) | \(1\) | eins |
| \(10^{-1}\) | \(0{,}1\) | ein Zehntel |
| \(10^{-2}\) | \(0{,}01\) | ein Hundertstel |
| \(10^{-3}\) | \(0{,}001\) | ein Tausendstel |
| \(10^{-6}\) | \(0{,}000\,001\) | ein Millionstel |
\(\frac{10^a}{10^b} = 10^{a-b}\)
\((10^a)^b = 10^{a \cdot b}\)
Wissenschaftliche Notation
In der wissenschaftlichen Notation (Gleitkommadarstellung) wird jede Zahl als Produkt einer Zahl zwischen 1 und 10 mit einer Zehnerpotenz geschrieben:
\(384\,000 = 3{,}84 \times 10^5\) (Entfernung Erde-Mond in km)
\(150\,000\,000 = 1{,}5 \times 10^8\) (Entfernung Erde-Sonne in km)
\(6\,371\,000 = 6{,}371 \times 10^6\) (Erdradius in m)
\(0{,}003 = 3 \times 10^{-3}\)
\(0{,}000\,000\,47 = 4{,}7 \times 10^{-7}\)
\(0{,}000\,000\,000\,000\,001\,6 = 1{,}6 \times 10^{-15}\) (Durchmesser eines Protons in m)
Umwandlung
So wandelst du Zahlen in die wissenschaftliche Notation um und zurück:
Merkregel:
Komma nach links verschoben → positiver Exponent (große Zahlen)
Komma nach rechts verschoben → negativer Exponent (kleine Zahlen)
Größenordnungen
Die Größenordnung einer Zahl ist die Zehnerpotenz, die ihr am nächsten kommt. Sie hilft beim schnellen Abschätzen und Vergleichen.
Größenordnung bestimmen: Die Zehnerpotenz \(10^n\) in der wissenschaftlichen Notation gibt die Größenordnung an.
\(384\,000 \approx 10^5\) → Größenordnung \(10^5\)
\(0{,}0042 \approx 10^{-3}\) → Größenordnung \(10^{-3}\)
Signifikante Stellen: Die Anzahl der bedeutsamen Ziffern einer Zahl. Führende Nullen zählen nicht mit!
\(3{,}140 \times 10^2\) hat 4 signifikante Stellen (3, 1, 4, 0)
\(0{,}00520\) hat 3 signifikante Stellen (5, 2, 0)
Rechnen in wissenschaftlicher Notation
\((3 \times 10^4) \cdot (2 \times 10^3) = (3 \cdot 2) \times 10^{4+3} = 6 \times 10^7\)
\(\frac{8 \times 10^6}{4 \times 10^2} = \frac{8}{4} \times 10^{6-2} = 2 \times 10^4\)
Übungen
Wie lautet \(0{,}00056\) in wissenschaftlicher Notation?
Was ergibt \(10^3 \cdot 10^4\)?
Berechne: \((4 \times 10^3) \cdot (3 \times 10^5)\)
Wie viele signifikante Stellen hat die Zahl \(0{,}003040\)?