Das Dezimalsystem ist ein Stellenwertsystem
Im Dezimalsystem gibt es zehn Ziffern, 0 bis 9, und jede Stelle ist zehnmal so viel wert wie die rechts daneben. Die Zahl 2026 bedeutet:
Die Zahl 10 ist die Basis des Systems. Sie ist nicht mathematisch zwingend, sondern eine Gewohnheit, die mit unseren zehn Fingern zu tun hat. Nimmt man eine andere Basis \(b\), funktioniert alles genauso: Es gibt \(b\) Ziffern (0 bis \(b - 1\)), und die Stellen sind \(1, b, b^2, b^3, \ldots\) wert. Welche Basis gemeint ist, schreibt man als Index dazu: \(2026_{10}\), \(101101_2\), \(7\text{EA}_{16}\).
Das Dualsystem (Basis 2)
Das Dualsystem, auch Binärsystem oder Zweiersystem, kennt nur die Ziffern 0 und 1. Die Stellenwerte sind die Zweierpotenzen:
| Stelle | \(2^7\) | \(2^6\) | \(2^5\) | \(2^4\) | \(2^3\) | \(2^2\) | \(2^1\) | \(2^0\) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Wert | 128 | 64 | 32 | 16 | 8 | 4 | 2 | 1 |
| \(10110110_2\) | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
In die andere Richtung, von dezimal nach dual, gibt es zwei Wege. Der erste: die größten Zweierpotenzen abziehen, die noch hineinpassen. Der zweite ist für große Zahlen sicherer und heißt Division mit Rest: Man dividiert immer wieder durch 2 und notiert die Reste.
Probe mit der Stellenwerttafel: \(32 + 8 + 4 + 1 = 45\). Der letzte Rest ist die höchste Stelle, der erste Rest die Einerstelle - deshalb von unten nach oben. Für 2026 braucht man elf Divisionen und erhält die Reste 0, 1, 0, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, von unten gelesen \(11111101010_2\). Probe: \(1024 + 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 8 + 2 = 2026\).
Das Hexadezimalsystem (Basis 16)
Mit Basis 16 braucht man sechzehn Ziffern. Für die Werte 10 bis 15 nimmt man die Buchstaben A bis F: A = 10, B = 11, C = 12, D = 13, E = 14, F = 15. Die Stellenwerte sind \(1, 16, 256, 4096, \ldots\)
Warum ausgerechnet 16? Weil \(16 = 2^4\) ist: Eine Hexadezimalziffer entspricht genau vier Dualziffern. Die Dualzahl \(11111101010_2\) in Vierergruppen von rechts: \(0111\;1110\;1010\), und das ist \(7\;\text{E}\;\text{A}\). Computer rechnen im Dualsystem, Menschen lesen lieber kurze Hexadezimalzahlen - darum stehen in Farbcodes, Speicheradressen und WLAN-Schlüsseln Zeichen von 0 bis F. Das Blau dieser Website hat den Farbcode #2563EB: \(25_{16} = 37\) Rot, \(63_{16} = 99\) Grün, \(\text{EB}_{16} = 235\) Blau, jeweils auf einer Skala von 0 bis 255 (\(\text{FF}_{16}\)).
Rechnen im Dualsystem
Addiert wird wie im Dezimalsystem, nur dass schon bei 2 ein Übertrag entsteht: \(1 + 1 = 10_2\).
Die Probe im Dezimalsystem ist die beste Kontrolle: Beide Summanden umrechnen, addieren, Ergebnis zurückrechnen.
Dieselbe Zahl in drei Systemen
| Dezimal | Dual | Hexadezimal |
|---|---|---|
| 13 | 1101 | D |
| 45 | 101101 | 2D |
| 100 | 1100100 | 64 |
| 255 | 11111111 | FF |
| 2026 | 11111101010 | 7EA |
Je kleiner die Basis, desto länger die Zahl: 2026 braucht dezimal vier Stellen, hexadezimal drei und dual elf. Die römischen Zahlen sind übrigens kein Stellenwertsystem - dort hat ein Zeichen überall denselben Wert, und deshalb lässt sich damit so schlecht rechnen.
Die häufigsten Fehler
- Reste von oben nach unten gelesen: Bei 45 ergibt das \(101101\) rückwärts, also \(101101\) - hier zufällig dasselbe, bei 2026 aber \(01010111111\), eine völlig andere Zahl. Der letzte Rest ist immer die höchste Stelle.
- Stellenwerte falsch gezählt: \(2^3 = 8\), nicht 6, und die Einerstelle ist \(2^0 = 1\). Stellen von rechts beginnend mit 0 nummerieren.
- Hexadezimalziffern verwechselt: A ist 10, nicht 1; B ist 11, nicht 12. Die Reihe A, B, C, D, E, F zählt von 10 bis 15.
- Basis nicht angeschrieben: \(101\) kann fünf (dual) oder hunderteins (dezimal) sein. Der Index \(101_2\) macht es eindeutig.
- Übertrag vergessen: \(1 + 1\) ist im Dualsystem nicht 2, sondern \(10_2\).
Übungen
Welche Dezimalzahl ist \(1101_2\)?
Schreibe 19 im Dualsystem.
Welche Dezimalzahl ist \(10000_2\)?
Welche Dezimalzahl ist \(\text{FF}_{16}\)?
Schreibe 100 im Dualsystem.
Welche Zahl ist größer: \(110010_2\) oder \(2\text{F}_{16}\)?
Schreibe 255 im Hexadezimalsystem.