Irrationale Zahlen - Definition & Beispiele

Was sind irrationale Zahlen?

Eine reelle Zahl heißt irrational, wenn sie sich nicht als Bruch \(\frac{p}{q}\) mit \(p \in \mathbb{Z}\) und \(q \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}\) darstellen lässt.

Irrationale Zahlen

\(\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \notin \mathbb{Q}\}\)

Erkennungsmerkmal: Irrationale Zahlen haben eine Dezimaldarstellung, die

nicht abbricht (unendlich viele Nachkommastellen)
nicht periodisch ist (kein sich wiederholendes Muster)

Vergleich: rational vs. irrational

Rational (abbrechend): \(\frac{1}{4} = 0{,}25\)

Rational (periodisch): \(\frac{1}{3} = 0{,}\overline{3} = 0{,}333\ldots\)

Irrational: \(\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots\) (kein Muster!)

Beweis: \(\sqrt{2}\) ist irrational

Einer der berühmtesten mathematischen Beweise zeigt, dass \(\sqrt{2}\) keine rationale Zahl ist. Wir verwenden einen Widerspruchsbeweis.

Beweis (indirekter Beweis)

Annahme: \(\sqrt{2}\) sei rational, also \(\sqrt{2} = \frac{p}{q}\) mit \(p, q \in \mathbb{Z}\), \(q \neq 0\) und der Bruch ist vollständig gekürzt (\(\text{ggT}(p, q) = 1\)).

Quadrieren: \(2 = \frac{p^2}{q^2}\), also \(p^2 = 2q^2\). Daraus folgt: \(p^2\) ist gerade, also muss auch \(p\) gerade sein. Wir setzen \(p = 2k\).

Einsetzen: \((2k)^2 = 2q^2 \Rightarrow 4k^2 = 2q^2 \Rightarrow q^2 = 2k^2\). Also ist auch \(q^2\) gerade und somit \(q\) gerade.

Widerspruch: Sowohl \(p\) als auch \(q\) sind gerade - der Bruch war also nicht vollständig gekürzt! Die Annahme war falsch.

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\(\sqrt{2}\) ist irrational. \(\square\)

Wichtige irrationale Zahlen

Es gibt unendlich viele irrationale Zahlen. Hier sind die bekanntesten:

Zahl	Wert (gerundet)	Bedeutung
\(\sqrt{2}\)	\(1{,}41421\ldots\)	Diagonale eines Einheitsquadrats
\(\sqrt{3}\)	\(1{,}73205\ldots\)	Höhe eines gleichseitigen Dreiecks mit Seite 2
\(\pi\)	\(3{,}14159\ldots\)	Verhältnis Umfang zu Durchmesser eines Kreises
\(e\)	\(2{,}71828\ldots\)	Eulersche Zahl, Basis des natürlichen Logarithmus

Merke: Nicht jede Wurzel ist irrational! \(\sqrt{4} = 2\), \(\sqrt{9} = 3\), \(\sqrt{16} = 4\) sind alles rationale (sogar natürliche) Zahlen. Nur Wurzeln aus Nicht-Quadratzahlen sind irrational.

Rechnen mit irrationalen Zahlen

Beim Rechnen mit irrationalen Zahlen gelten einige besondere Regeln:

Summe: Die Summe zweier irrationaler Zahlen kann rational sein!

Beispiel: \(\sqrt{2} + (-\sqrt{2}) = 0 \in \mathbb{Q}\)

Produkt: Das Produkt zweier irrationaler Zahlen kann rational sein!

Beispiel: \(\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \in \mathbb{Q}\)

Aber: Die Summe einer rationalen und einer irrationalen Zahl ist immer irrational.

Beispiel: \(3 + \sqrt{2}\) ist irrational.

Was sind irrationale Zahlen?

Beweis: \(\sqrt{2}\) ist irrational

Wichtige irrationale Zahlen

Rechnen mit irrationalen Zahlen

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