Arten von Intervallen
Ein Intervall ist eine Menge aller reellen Zahlen zwischen zwei Grenzen \(a\) und \(b\) (mit \(a < b\)). Je nachdem, ob die Randpunkte dazugehören oder nicht, unterscheidet man vier Arten:
| Bezeichnung | Schreibweise | Mengenschreibweise | Zahlenstrahl |
|---|---|---|---|
| Geschlossenes Intervall | \([a, b]\) | \(\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x \leq b\}\) | Endpunkte ausgefüllt |
| Offenes Intervall | \((a, b)\) | \(\{x \in \mathbb{R} \mid a < x < b\}\) | Endpunkte offen (Kreise) |
| Halboffen (links offen) | \((a, b]\) | \(\{x \in \mathbb{R} \mid a < x \leq b\}\) | links offen, rechts ausgefüllt |
| Halboffen (rechts offen) | \([a, b)\) | \(\{x \in \mathbb{R} \mid a \leq x < b\}\) | links ausgefüllt, rechts offen |
\([2, 5]\) enthält alle Zahlen von 2 bis 5, einschließlich 2 und 5 selbst.
Also: \(2 \in [2, 5]\), \(3{,}7 \in [2, 5]\), \(5 \in [2, 5]\)
Aber: \(1{,}9 \notin [2, 5]\) und \(5{,}1 \notin [2, 5]\)
Unbeschränkte Intervalle
Intervalle können sich auch ins Unendliche erstrecken. Man verwendet dafür das Symbol \(\infty\):
\((a, \infty) = \{x \in \mathbb{R} \mid x > a\}\)
\((-\infty, b] = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq b\}\)
\((-\infty, b) = \{x \in \mathbb{R} \mid x < b\}\)
Wichtig: Bei \(\infty\) und \(-\infty\) steht immer eine runde Klammer, weil Unendlich keine Zahl ist und daher nicht "dazugehören" kann.
Der Absolutbetrag
Der Absolutbetrag (oder Betrag) einer Zahl gibt ihren Abstand zur Null auf dem Zahlenstrahl an. Er ist immer nicht-negativ.
\(|5| = 5\)
\(|-3| = 3\)
\(|0| = 0\)
\(|-\sqrt{2}| = \sqrt{2}\)
Geometrische Deutung: \(|x - a|\) ist der Abstand von \(x\) zum Punkt \(a\) auf dem Zahlenstrahl.
Beispiel: \(|x - 3| < 2\) bedeutet: Der Abstand von \(x\) zu 3 ist kleiner als 2.
Betragsungleichungen lösen
Betragsungleichungen lassen sich auf zwei Fälle zurückführen:
\(|x - a| \leq b \quad \Leftrightarrow \quad a - b \leq x \leq a + b \quad \Leftrightarrow \quad x \in [a-b,\; a+b]\)
\(|x - a| > b \quad \Leftrightarrow \quad x < a - b \;\text{ oder }\; x > a + b\)
Durchschnitt und Vereinigung von Intervallen
Intervalle können mit Mengenoperationen verknüpft werden:
Durchschnitt \(\cap\): Alle Zahlen, die in beiden Intervallen liegen.
\([1, 5] \cap [3, 8] = [3, 5]\)
Vereinigung \(\cup\): Alle Zahlen, die in mindestens einem Intervall liegen.
\([1, 3] \cup [5, 8] = [1, 3] \cup [5, 8]\) (keine Vereinfachung, da getrennt)
\([1, 5] \cup [3, 8] = [1, 8]\) (überlappende Intervalle)
Übungen
Welche Zahl liegt im Intervall \((2, 5]\)?
Was ist \(|-7|\)?
Was ist die Lösungsmenge von \(|x - 3| < 2\)?
Was ist \([1, 6] \cap [4, 9]\)?
Löse: \(|2x - 6| \leq 4\). Was ist die Lösungsmenge?