Ungleichungen mit Betrag - Erklärung & Beispiele

Der Betrag -- kurze Wiederholung

Der Betrag \( |x| \) gibt den Abstand der Zahl \( x \) von Null auf dem Zahlenstrahl an:

\( |x| = \begin{cases} x & \text{wenn } x \geq 0 \\ -x & \text{wenn } x < 0 \end{cases} \)

Zum Beispiel: \( |5| = 5 \) und \( |-3| = 3 \). Der Betrag ist immer nicht-negativ, also \( |x| \geq 0 \) für alle \( x \).

Fall 1: \( |T| < a \) (Betrag kleiner als)

Wenn der Betrag eines Ausdrucks \( T \) kleiner als eine positive Zahl \( a \) sein soll, liegt der Ausdruck zwischen \( -a \) und \( a \):

\( |T| < a \quad \Leftrightarrow \quad -a < T < a \)

(analog: \( |T| \leq a \quad \Leftrightarrow \quad -a \leq T \leq a \))

Anschaulich: Der Abstand von \( T \) zu Null ist kleiner als \( a \). Das bedeutet, \( T \) liegt im Intervall \( (-a, \; a) \).

Beispiel: \( |2x - 3| < 5 \)

Umschreiben als Doppelungleichung:

\( -5 < 2x - 3 < 5 \quad | +3 \)

\( -2 < 2x < 8 \quad | :2 \)

\( -1 < x < 4 \)

Lösungsmenge: \( \mathbb{L} = (-1, \; 4) \)

Fall 2: \( |T| > a \) (Betrag größer als)

Wenn der Betrag eines Ausdrucks \( T \) größer als eine positive Zahl \( a \) sein soll, liegt der Ausdruck außerhalb des Intervalls \( [-a, \; a] \):

\( |T| > a \quad \Leftrightarrow \quad T < -a \; \text{ oder } \; T > a \)

(analog: \( |T| \geq a \quad \Leftrightarrow \quad T \leq -a \; \text{ oder } \; T \geq a \))

Anschaulich: Der Abstand von \( T \) zu Null ist größer als \( a \). Das bedeutet, \( T \) liegt links von \( -a \) oder rechts von \( a \).

Beispiel: \( |x + 1| > 4 \)

Umschreiben als zwei Ungleichungen:

Fall A: \( x + 1 > 4 \Rightarrow x > 3 \)

Fall B: \( x + 1 < -4 \Rightarrow x < -5 \)

Lösungsmenge: \( \mathbb{L} = (-\infty, \; -5) \cup (3, \; +\infty) \)

Komplexere Beispiele

Beispiel: \( |3x + 6| \leq 12 \)

Umschreiben: \( -12 \leq 3x + 6 \leq 12 \quad | -6 \)

\( -18 \leq 3x \leq 6 \quad | :3 \)

\( -6 \leq x \leq 2 \)

Lösungsmenge: \( \mathbb{L} = [-6, \; 2] \)

Beispiel: \( |4 - x| \geq 3 \)

Fall A: \( 4 - x \geq 3 \Rightarrow -x \geq -1 \Rightarrow x \leq 1 \)

Fall B: \( 4 - x \leq -3 \Rightarrow -x \leq -7 \Rightarrow x \geq 7 \)

Lösungsmenge: \( \mathbb{L} = (-\infty, \; 1] \cup [7, \; +\infty) \)

Zusammenfassung und Tipps

Kurzregeln:

\( |T| < a \): Doppelungleichung \( -a < T < a \) (ein zusammenhängendes Intervall)
\( |T| > a \): Zwei getrennte Bereiche \( T < -a \) oder \( T > a \) (Vereinigung zweier Intervalle)
Bei \( \leq \) bzw. \( \geq \) kommen die Randwerte dazu
Vorsicht: \( |T| < a \) hat keine Lösung, wenn \( a \leq 0 \) (der Betrag ist immer \( \geq 0 \))