Grafische Darstellung von Lösungsmengen

Darstellung am Zahlenstrahl

Um die Lösungsmenge einer Ungleichung darzustellen, markieren wir auf dem Zahlenstrahl alle Zahlen, die die Ungleichung erfüllen. Dabei gelten folgende Konventionen:

Offener Kreis (oder leerer Punkt): Der Randwert gehört nicht zur Lösungsmenge. Verwendet bei \( < \) und \( > \).

Geschlossener Kreis (oder ausgefüllter Punkt): Der Randwert gehört zur Lösungsmenge. Verwendet bei \( \leq \) und \( \geq \).

Ungleichung	Am Zahlenstrahl	Beschreibung
\( x > 3 \)	offener Kreis bei 3, Strahl nach rechts	Alle Zahlen rechts von 3 (ohne 3)
\( x \geq 3 \)	geschlossener Kreis bei 3, Strahl nach rechts	Alle Zahlen ab 3 (mit 3)
\( x < -1 \)	offener Kreis bei \( -1 \), Strahl nach links	Alle Zahlen links von \( -1 \) (ohne \( -1 \))
\( x \leq -1 \)	geschlossener Kreis bei \( -1 \), Strahl nach links	Alle Zahlen bis \( -1 \) (mit \( -1 \))
\( 2 < x \leq 5 \)	offener Kreis bei 2, geschlossener bei 5, Strecke dazwischen	Alle Zahlen zwischen 2 und 5 (ohne 2, mit 5)

Drei Schreibweisen für Lösungsmengen

Die Lösungsmenge einer Ungleichung kann auf verschiedene Arten geschrieben werden:

1. Ungleichungsschreibweise

Die vertrauteste Form, z. B. \( x > 3 \) oder \( -2 \leq x < 5 \).

2. Mengenschreibweise (Mengenklammer)

\( \mathbb{L} = \{x \in \mathbb{R} \mid x > 3\} \)

Gelesen: "Die Menge aller reellen Zahlen \( x \), für die \( x > 3 \) gilt."

3. Intervallschreibweise

\( \mathbb{L} = (3, \; +\infty) \)

Klammer-Regel:

Runde Klammer \( ( \) oder \( ) \): Randwert nicht enthalten (\( < \) oder \( > \))
Eckige Klammer \( [ \) oder \( ] \): Randwert enthalten (\( \leq \) oder \( \geq \))
Bei \( +\infty \) und \( -\infty \) steht immer eine runde Klammer, da Unendlich keine Zahl ist

Arten von Intervallen

Intervalltyp	Notation	Ungleichung
Offenes Intervall	\( (a, \; b) \)	\( a < x < b \)
Geschlossenes Intervall	\( [a, \; b] \)	\( a \leq x \leq b \)
Halboffen (links offen)	\( (a, \; b] \)	\( a < x \leq b \)
Halboffen (rechts offen)	\( [a, \; b) \)	\( a \leq x < b \)
Rechter Strahl (offen)	\( (a, \; +\infty) \)	\( x > a \)
Rechter Strahl (geschlossen)	\( [a, \; +\infty) \)	\( x \geq a \)
Linker Strahl (offen)	\( (-\infty, \; a) \)	\( x < a \)
Linker Strahl (geschlossen)	\( (-\infty, \; a] \)	\( x \leq a \)

Vereinigung von Intervallen

Manchmal besteht die Lösungsmenge aus zwei getrennten Bereichen, z. B. bei Betragsungleichungen vom Typ \( |x| > a \). In diesem Fall schreiben wir die Vereinigung mit dem Symbol \( \cup \):

Beispiel: \( |x| > 3 \)

Lösung: \( x < -3 \) oder \( x > 3 \)

Am Zahlenstrahl: offener Kreis bei \( -3 \), Strahl nach links; offener Kreis bei \( 3 \), Strahl nach rechts

Intervallschreibweise: \( \mathbb{L} = (-\infty, \; -3) \cup (3, \; +\infty) \)

Beispiel: \( x \leq 1 \) oder \( x \geq 5 \)

Am Zahlenstrahl: geschlossener Kreis bei \( 1 \), Strahl nach links; geschlossener Kreis bei \( 5 \), Strahl nach rechts

Intervallschreibweise: \( \mathbb{L} = (-\infty, \; 1] \cup [5, \; +\infty) \)