Lineare Ungleichungen lösen - Erklärung & Beispiele

Ungleichungszeichen

Bevor wir Ungleichungen lösen, wiederholen wir die vier Ungleichungszeichen:

Zeichen	Bedeutung	Beispiel
\( < \)	kleiner als	\( 3 < 5 \)
\( > \)	größer als	\( 7 > 2 \)
\( \leq \)	kleiner oder gleich	\( x \leq 4 \): \( x \) darf auch 4 sein
\( \geq \)	größer oder gleich	\( x \geq -1 \): \( x \) darf auch \( -1 \) sein

Regeln zum Lösen

Für das Umformen von Ungleichungen gelten folgende Regeln:

Regel 1: Addition und Subtraktion auf beiden Seiten ändern das Zeichen nicht.

\( a < b \Rightarrow a + c < b + c \)

Regel 2: Multiplikation und Division mit einer positiven Zahl ändern das Zeichen nicht.

\( a < b \) und \( c > 0 \Rightarrow a \cdot c < b \cdot c \)

Regel 3 (wichtigste Regel!): Multiplikation und Division mit einer negativen Zahl drehen das Zeichen um!

\( a < b \) und \( c < 0 \Rightarrow a \cdot c > b \cdot c \)

Merke: Bei Multiplikation oder Division mit einer negativen Zahl wird aus \( < \) ein \( > \), aus \( \leq \) ein \( \geq \) und umgekehrt!

Beispiele

Beispiel 1: Einfache Ungleichung

Löse: \( 3x + 7 < 22 \)

\( 3x + 7 < 22 \quad | -7 \)

\( 3x < 15 \quad | :3 \)

\( x < 5 \)

Lösungsmenge: \( \mathbb{L} = \{x \in \mathbb{R} \mid x < 5\} = (-\infty, \; 5) \)

Beispiel 2: Mit Vorzeichenwechsel

Löse: \( -4x + 3 \geq 19 \)

\( -4x + 3 \geq 19 \quad | -3 \)

\( -4x \geq 16 \quad | :(-4) \) Zeichen dreht um!

\( x \leq -4 \)

Lösungsmenge: \( \mathbb{L} = \{x \in \mathbb{R} \mid x \leq -4\} = (-\infty, \; -4] \)

Beispiel 3: Variable auf beiden Seiten

Löse: \( 5x - 3 > 2x + 9 \)

\( 5x - 3 > 2x + 9 \quad | -2x \)

\( 3x - 3 > 9 \quad | +3 \)

\( 3x > 12 \quad | :3 \)

\( x > 4 \)

Lösungsmenge: \( \mathbb{L} = (4, \; +\infty) \)

Intervallschreibweise

Die Lösungsmenge einer linearen Ungleichung ist ein Intervall. Hier die wichtigsten Schreibweisen:

Ungleichung	Intervall	Zahlenstrahl
\( x > a \)	\( (a, \; +\infty) \)	offener Kreis bei \( a \), Pfeil nach rechts
\( x \geq a \)	\( [a, \; +\infty) \)	geschlossener Kreis bei \( a \), Pfeil nach rechts
\( x < a \)	\( (-\infty, \; a) \)	Pfeil nach links, offener Kreis bei \( a \)
\( x \leq a \)	\( (-\infty, \; a] \)	Pfeil nach links, geschlossener Kreis bei \( a \)

Offener Kreis (oder runde Klammer): Der Randwert gehört nicht zur Lösung (\( < \) oder \( > \)).

Geschlossener Kreis (oder eckige Klammer): Der Randwert gehört zur Lösung (\( \leq \) oder \( \geq \)).

Doppelungleichungen

Manchmal soll eine Variable in einem bestimmten Bereich liegen:

Löse: \( -1 < 2x + 3 \leq 11 \)

\( -1 < 2x + 3 \leq 11 \quad | -3 \)

\( -4 < 2x \leq 8 \quad | :2 \)

\( -2 < x \leq 4 \)

Lösungsmenge: \( \mathbb{L} = (-2, \; 4] \)