Der Satz von Vieta

Für die quadratische Gleichung in Normalform \(x^2 + px + q = 0\) mit den Lösungen \(x_1\) und \(x_2\) gilt:

Satz von Vieta
\(x_1 + x_2 = -p\)

\(x_1 \cdot x_2 = q\)

In Worten:

  • Die Summe der Lösungen ist gleich dem negativen Koeffizienten von \(x\).
  • Das Produkt der Lösungen ist gleich dem konstanten Glied.

Warum gilt der Satz?

Wenn \(x_1\) und \(x_2\) die Lösungen von \(x^2 + px + q = 0\) sind, kann man die Gleichung als Produkt schreiben:

Herleitung
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Linearfaktorzerlegung: \(x^2 + px + q = (x - x_1)(x - x_2)\)
2
Rechte Seite ausmultiplizieren: \(x^2 - x_2 \cdot x - x_1 \cdot x + x_1 \cdot x_2\)
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Zusammenfassen: \(x^2 - (x_1 + x_2) \cdot x + x_1 \cdot x_2\)
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Koeffizientenvergleich: \(p = -(x_1 + x_2)\) und \(q = x_1 \cdot x_2\)

Anwendung: Lösungen überprüfen

Mit dem Satz von Vieta kannst du schnell prüfen, ob berechnete Lösungen korrekt sind, ohne sie in die Gleichung einsetzen zu müssen.

Beispiel: Probe für \(x^2 - 7x + 12 = 0\)

Behauptung: \(x_1 = 3\) und \(x_2 = 4\) sind die Lösungen.

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Summe prüfen: \(x_1 + x_2 = 3 + 4 = 7 \stackrel{?}{=} -p = -(-7) = 7\) ✓
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Produkt prüfen: \(x_1 \cdot x_2 = 3 \cdot 4 = 12 \stackrel{?}{=} q = 12\) ✓
✓
Beide Bedingungen erfüllt → Die Lösungen sind korrekt.

Anwendung: Gleichung aus Lösungen aufstellen

Wenn die Lösungen gegeben sind, kannst du mit Vieta die zugehörige Gleichung bestimmen.

Beispiel: Stelle die Gleichung auf mit \(x_1 = -2\) und \(x_2 = 5\)
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\(p = -(x_1 + x_2) = -(-2 + 5) = -3\)
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\(q = x_1 \cdot x_2 = (-2) \cdot 5 = -10\)
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Die Gleichung lautet: \(x^2 - 3x - 10 = 0\)
Beispiel: Stelle die Gleichung auf mit \(x_1 = x_2 = 4\) (Doppellösung)
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\(p = -(4 + 4) = -8\)
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\(q = 4 \cdot 4 = 16\)
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Die Gleichung lautet: \(x^2 - 8x + 16 = 0\)

Vieta für die allgemeine Form

Für die allgemeine Form \(ax^2 + bx + c = 0\) (mit \(a \neq 0\)) lauten die Formeln von Vieta:

Vieta (allgemeine Form)
\(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\)

\(x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}\)

Tipp: In der Praxis ist es oft einfacher, die Gleichung zuerst durch \(a\) zu dividieren (Normalform herstellen) und dann die einfachere Version des Satzes von Vieta anzuwenden.

Übungen

Aufgabe 1Leicht

Die Gleichung \(x^2 - 9x + 20 = 0\) hat die Lösungen \(x_1 = 4\) und \(x_2 = 5\). Prüfe: Stimmt \(x_1 + x_2 = -p\)?

Aufgabe 2Mittel

Stelle eine quadratische Gleichung auf, die die Lösungen \(x_1 = -1\) und \(x_2 = 6\) hat.

Aufgabe 3Mittel

Die Gleichung \(x^2 + px + 12 = 0\) hat die Lösung \(x_1 = 3\). Was ist \(x_2\)?

Aufgabe 4Schwer

Die Lösungen einer Gleichung \(x^2 + px + q = 0\) erfüllen: \(x_1 + x_2 = 10\) und \(x_1 \cdot x_2 = 21\). Was ist \(p + q\)?