Was ist eine reinquadratische Gleichung?
Eine reinquadratische Gleichung ist eine spezielle quadratische Gleichung, bei der das lineare Glied \(bx\) fehlt (also \(b = 0\)).
Oder umgeformt:
Lösungsverfahren
Um eine reinquadratische Gleichung zu lösen, isoliert man \(x^2\) und zieht dann die Wurzel:
Wichtig: Beim Wurzelziehen immer an beide Vorzeichen denken! \(x^2 = 9\) hat die Lösungen \(x = 3\) und \(x = -3\).
Die drei Lösungsfälle
Je nach dem Wert von \(\frac{-c}{a}\) ergeben sich unterschiedliche Situationen:
| Fall | Bedingung | Lösungen | Beispiel |
|---|---|---|---|
| Zwei Lösungen | \(\frac{-c}{a} > 0\) | \(x_{1,2} = \pm\sqrt{\frac{-c}{a}}\) | \(x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3\) |
| Eine Lösung | \(\frac{-c}{a} = 0\) | \(x = 0\) | \(x^2 = 0 \Rightarrow x = 0\) |
| Keine Lösung | \(\frac{-c}{a} < 0\) | keine reelle Lösung | \(x^2 = -4\) hat keine Lösung in \(\mathbb{R}\) |
Warum keine Lösung bei negativer rechter Seite?
Das Quadrat einer reellen Zahl ist immer \(\geq 0\). Daher kann \(x^2\) niemals einen negativen Wert annehmen. Die Gleichung \(x^2 = -4\) hat in \(\mathbb{R}\) keine Lösung.
Graphische Deutung
Graphisch entspricht die reinquadratische Gleichung \(ax^2 + c = 0\) den Schnittpunkten der Parabel \(y = ax^2 + c\) mit der x-Achse.
Parabel \(y = ax^2 + c\) und x-Achse:
Wenn \(c < 0\) und \(a > 0\): Die Parabel schneidet die x-Achse in zwei Punkten → 2 Lösungen
Wenn \(c = 0\): Die Parabel berührt die x-Achse im Ursprung → 1 Lösung
Wenn \(c > 0\) und \(a > 0\): Die Parabel liegt vollständig über der x-Achse → keine Lösung
Weitere Beispiele
Übungen
Löse: \(x^2 = 16\)
Wie viele reelle Lösungen hat \(x^2 + 9 = 0\)?
Löse: \(4x^2 - 36 = 0\). Was ist die positive Lösung?
Löse: \(3x^2 = 6{,}75\). Was ist \(x_1 + x_2\)?