Die Lösungsformel

Für die allgemeine quadratische Gleichung \(ax^2 + bx + c = 0\) mit \(a \neq 0\) gilt:

abc-Formel (Lösungsformel)
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

Die Formel liefert bis zu zwei Lösungen:

\(x_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) und \(x_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

Herleitung durch quadratische Ergänzung

Die abc-Formel wird durch quadratische Ergänzung hergeleitet:

Herleitung
1
Ausgangspunkt: \(ax^2 + bx + c = 0\). Durch \(a\) dividieren: \(x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\)
2
\(\frac{c}{a}\) auf die andere Seite: \(x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}\)
3
Quadratische Ergänzung: \(x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2\)
4
Linke Seite als Binom: \(\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}\)
5
Wurzel ziehen: \(x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
✓
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)

Schritt-für-Schritt-Beispiele

Beispiel 1: \(2x^2 + 8x - 10 = 0\)
1
Koeffizienten ablesen: \(a = 2\), \(b = 8\), \(c = -10\)
2
In die Formel einsetzen: \(x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 2 \cdot (-10)}}{2 \cdot 2}\)
3
Unter der Wurzel: \(64 + 80 = 144\)
4
\(x_{1,2} = \frac{-8 \pm 12}{4}\)
✓
\(x_1 = \frac{-8 + 12}{4} = 1\) und \(x_2 = \frac{-8 - 12}{4} = -5\)
Beispiel 2: \(x^2 - 6x + 9 = 0\)
1
\(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 9\)
2
\(x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 36}}{2} = \frac{6 \pm 0}{2}\)
✓
\(x = 3\) (Doppellösung)

Die kleine Lösungsformel

Wenn \(a = 1\), also bei der Normalform \(x^2 + px + q = 0\), vereinfacht sich die Formel:

Kleine Lösungsformel (pq-Formel)
\(x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}\)
Beispiel: \(x^2 - 4x - 5 = 0\)
1
\(p = -4\), \(q = -5\)
2
\(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 + 5} = 2 \pm 3\)
✓
\(x_1 = 5\) und \(x_2 = -1\)

Tipps und häufige Fehler

Tipp 1: Immer zuerst die Gleichung auf die Form \(ax^2 + bx + c = 0\) bringen!

Tipp 2: Vorzeichen der Koeffizienten genau ablesen, besonders bei \(b\). In \(x^2 - 5x + 6 = 0\) ist \(b = -5\), nicht \(5\)!

Tipp 3: Probe machen! Setze die Lösungen in die Gleichung ein, um zu prüfen.

Häufiger Fehler: Bei \(-b\) das Vorzeichen vergessen.

Wenn \(b = -5\), dann ist \(-b = -(-5) = 5\) (positiv!)

Übungen

Aufgabe 1Leicht

Löse mit der abc-Formel: \(x^2 - 5x + 6 = 0\). Welche Lösungen hat die Gleichung?

Aufgabe 2Mittel

Löse: \(2x^2 - 3x - 2 = 0\). Welche Lösungen hat die Gleichung?

Aufgabe 3Mittel

In der Gleichung \(3x^2 + 12x + 9 = 0\): Welche Werte haben \(a\), \(b\) und \(c\)?

Aufgabe 4Mittel

Löse mit der kleinen Formel: \(x^2 + 2x - 8 = 0\). Was ist \(x_1 \cdot x_2\)?

Aufgabe 5Schwer

Löse: \(-x^2 + 4x - 3 = 0\). Was ist die Summe der Lösungen?