Was sind Parameter?

Ein Parameter ist ein fester, aber zunächst unbekannter Wert in einer Gleichung. Er wird meist mit Buchstaben wie \(k\), \(m\), \(a\) oder \(t\) bezeichnet.

Beispiele für Parametergleichungen

\(x^2 - 2kx + k = 0\) — Parameter \(k\)

\(x^2 + mx - (m+2) = 0\) — Parameter \(m\)

\(ax^2 + 4x + 1 = 0\) — Parameter \(a\)

Typische Aufgabenstellungen:

  • Für welche Werte von \(k\) hat die Gleichung zwei Lösungen?
  • Bestimme \(k\) so, dass die Gleichung genau eine Lösung hat.
  • Für welche \(k\) hat die Gleichung keine reelle Lösung?
  • Bestimme \(k\) so, dass \(x = 3\) eine Lösung ist.

Diskriminante mit Parametern

Das wichtigste Werkzeug ist die Diskriminante. Man berechnet \(D = b^2 - 4ac\) und erhält einen Ausdruck, der vom Parameter abhängt.

Beispiel: \(x^2 + 4x + k = 0\) - Für welche \(k\) hat die Gleichung zwei Lösungen?
1
Koeffizienten: \(a = 1\), \(b = 4\), \(c = k\)
2
Diskriminante: \(D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot k = 16 - 4k\)
3
Bedingung für zwei Lösungen: \(D > 0\), also \(16 - 4k > 0\)
4
\(16 > 4k \Rightarrow k < 4\)
✓
Für \(k < 4\) hat die Gleichung zwei verschiedene reelle Lösungen.

Zusammenfassung für \(x^2 + 4x + k = 0\):

\(k < 4\): Zwei Lösungen

\(k = 4\): Genau eine Lösung (Doppellösung \(x = -2\))

\(k > 4\): Keine reelle Lösung

Bestimmte Lösung vorgegeben

Manchmal wird verlangt, den Parameter so zu bestimmen, dass ein bestimmter Wert Lösung der Gleichung ist.

Beispiel: Für welches \(k\) ist \(x = 2\) Lösung von \(x^2 - kx + 6 = 0\)?
1
\(x = 2\) einsetzen: \(2^2 - k \cdot 2 + 6 = 0\)
2
Vereinfachen: \(4 - 2k + 6 = 0\)
3
\(10 - 2k = 0 \Rightarrow k = 5\)
✓
Für \(k = 5\) ist \(x = 2\) eine Lösung. Die Gleichung lautet dann \(x^2 - 5x + 6 = 0\) mit den Lösungen \(x_1 = 2\) und \(x_2 = 3\).

Vieta mit Parametern

Auch der Satz von Vieta kann bei Parameteraufgaben hilfreich sein.

Beispiel: \(x^2 - (k+1)x + k = 0\) - Finde die Lösungen
1
Nach Vieta: \(x_1 + x_2 = k + 1\) und \(x_1 \cdot x_2 = k\)
2
Versuch: \(x_1 = 1\) einsetzen → \(1 - (k+1) + k = 1 - k - 1 + k = 0\) ✓
3
Also ist \(x_1 = 1\) immer eine Lösung (unabhängig von \(k\))!
✓
Mit Vieta: \(x_2 = \frac{k}{x_1} = \frac{k}{1} = k\). Die Lösungen sind \(x_1 = 1\) und \(x_2 = k\).

Strategie bei Parameteraufgaben:

1. Bestimme \(a\), \(b\), \(c\) (können vom Parameter abhängen)

2. Stelle die Diskriminante \(D\) auf

3. Setze die gewünschte Bedingung ein (\(D > 0\), \(D = 0\), \(D < 0\))

4. Löse die entstehende Ungleichung/Gleichung nach dem Parameter auf

Übungen

Aufgabe 1Leicht

Für welches \(k\) ist \(x = 1\) Lösung von \(x^2 + kx - 6 = 0\)?

Aufgabe 2Mittel

Für welchen Wert von \(k\) hat \(x^2 - 6x + k = 0\) genau eine Lösung?

Aufgabe 3Mittel

Für welche Werte von \(k\) hat \(x^2 + 2x + k = 0\) keine reelle Lösung?

Aufgabe 4Schwer

Die Gleichung \(x^2 - 2kx + (k^2 - 1) = 0\). Berechne die Diskriminante \(D\) in Abhängigkeit von \(k\).