Was ist die Diskriminante?
Für die quadratische Gleichung \(ax^2 + bx + c = 0\) ist die Diskriminante der Ausdruck:
Die Diskriminante ist genau der Ausdruck, der in der Lösungsformel unter der Wurzel steht:
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\underbrace{b^2 - 4ac}_{= D}}}{2a}\)
Da wir aus einer negativen Zahl keine reelle Wurzel ziehen können, bestimmt das Vorzeichen von \(D\) die Anzahl der Lösungen.
Die drei Lösungsfälle
| Diskriminante | Anzahl Lösungen | Lösungen |
|---|---|---|
| \(D > 0\) | Zwei verschiedene reelle Lösungen | \(x_1 \neq x_2\) |
| \(D = 0\) | Genau eine Lösung (Doppellösung) | \(x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a}\) |
| \(D < 0\) | Keine reelle Lösung | Lösungsmenge \(\mathbb{L} = \{\}\) |
\(x^2 - 5x + 4 = 0\)
\(D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 > 0\)
\(x_{1,2} = \frac{5 \pm 3}{2}\), also \(x_1 = 4\) und \(x_2 = 1\)
\(x^2 - 6x + 9 = 0\)
\(D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0\)
\(x = \frac{6}{2} = 3\) (Doppellösung)
\(x^2 + 2x + 5 = 0\)
\(D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4 - 20 = -16 < 0\)
Keine reelle Lösung.
Graphische Deutung
Die Diskriminante hat eine klare graphische Bedeutung: Sie sagt aus, wie die zugehörige Parabel \(y = ax^2 + bx + c\) zur x-Achse liegt.
\(D > 0\): Die Parabel schneidet die x-Achse in zwei Punkten.
\(D = 0\): Die Parabel berührt die x-Achse in genau einem Punkt (Scheitel auf der x-Achse).
\(D < 0\): Die Parabel hat keinen Schnittpunkt mit der x-Achse (liegt vollständig über oder unter ihr).
Merke: Die Nullstellen der Parabel \(y = ax^2 + bx + c\) sind genau die Lösungen der Gleichung \(ax^2 + bx + c = 0\).
Diskriminante bei Normalform
Bei der Normalform \(x^2 + px + q = 0\) (mit \(a = 1\)) vereinfacht sich die Diskriminante:
\(x^2 + 3x - 10 = 0\)
\(D = 3^2 - 4 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 > 0\)
Also: Zwei verschiedene Lösungen.
\(x_{1,2} = \frac{-3 \pm 7}{2}\), also \(x_1 = 2\) und \(x_2 = -5\)
Praktische Anwendung
Die Diskriminante ist besonders nützlich, wenn man vorab prüfen will, ob eine Gleichung überhaupt (reelle) Lösungen hat - ohne sie komplett lösen zu müssen.
Gegeben: \(y = 2x^2 - 4x + 5\)
Übungen
Berechne die Diskriminante von \(x^2 - 4x + 4 = 0\).
Wie viele reelle Lösungen hat \(x^2 + x + 1 = 0\)?
Für welchen Wert von \(D\) berührt die Parabel die x-Achse?
Berechne die Diskriminante von \(3x^2 + 6x - 9 = 0\).
Die Gleichung \(x^2 - 8x + k = 0\) hat genau eine Lösung. Welchen Wert hat \(k\)?