Der Zehnerlogarithmus (lg)
Der Zehnerlogarithmus ist der Logarithmus zur Basis 10. Er wird mit \( \lg \) oder \( \log \) abgekürzt:
\( \lg(x) = \log_{10}(x) \)
\( \lg(x) = y \iff 10^y = x \)
\( \lg(1) = 0 \) denn \( 10^0 = 1 \)
\( \lg(10) = 1 \) denn \( 10^1 = 10 \)
\( \lg(100) = 2 \) denn \( 10^2 = 100 \)
\( \lg(1000) = 3 \) denn \( 10^3 = 1000 \)
\( \lg(0{,}1) = -1 \) denn \( 10^{-1} = 0{,}1 \)
\( \lg(0{,}01) = -2 \) denn \( 10^{-2} = 0{,}01 \)
Faustregel: Der Zehnerlogarithmus einer Zahl gibt (gerundet) die Anzahl der Stellen minus 1 an. Zum Beispiel: \( \lg(500) \approx 2{,}7 \) – die Zahl 500 hat 3 Stellen.
Anwendungen: Der Zehnerlogarithmus wird in vielen Bereichen verwendet:
- Dezibel (dB): Lautstärkemessung
- pH-Wert: \( \text{pH} = -\lg([\text{H}^+]) \)
- Richterskala: Erdbebenstärke
- Stellenwert: Ziffernanzahl einer Zahl
Der natürliche Logarithmus (ln)
Der natürliche Logarithmus ist der Logarithmus zur Basis \( e \) (Eulersche Zahl). Er wird mit \( \ln \) abgekürzt:
\( \ln(x) = \log_e(x) \)
\( \ln(x) = y \iff e^y = x \)
mit \( e \approx 2{,}71828... \)
Die Eulersche Zahl \( e \): Die Zahl \( e \approx 2{,}71828 \) ist eine irrationale Zahl und eine der wichtigsten Konstanten der Mathematik. Sie tritt bei natürlichem Wachstum und Zerfall auf.
\( \ln(1) = 0 \) denn \( e^0 = 1 \)
\( \ln(e) = 1 \) denn \( e^1 = e \)
\( \ln(e^2) = 2 \)
\( \ln(e^{-1}) = -1 \), also \( \ln\!\left(\frac{1}{e}\right) = -1 \)
Anwendungen: Der natürliche Logarithmus ist in der Analysis und Wissenschaft allgegenwärtig:
- Wachstum/Zerfall: \( N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \)
- Halbwertszeit: \( t_{1/2} = \frac{\ln(2)}{k} \)
- Analysis: \( \frac{d}{dx}\ln(x) = \frac{1}{x} \)
- Integration: \( \int \frac{1}{x}\,dx = \ln|x| + C \)
Vergleich: lg und ln
| Eigenschaft | Zehnerlogarithmus \( \lg \) | Natürlicher Logarithmus \( \ln \) |
|---|---|---|
| Basis | \( 10 \) | \( e \approx 2{,}718 \) |
| Schreibweise | \( \lg(x) \) oder \( \log(x) \) | \( \ln(x) \) |
| Taschenrechner | Taste: log | Taste: ln |
| Einsatzgebiet | Technik, Skalen, pH-Wert | Analysis, Naturwissenschaft |
| Umrechnung | \( \ln(x) = \lg(x) \cdot \ln(10) \approx \lg(x) \cdot 2{,}3026 \) | |
Arbeit mit dem Taschenrechner
Jeder wissenschaftliche Taschenrechner hat die Tasten log (für \( \lg \)) und ln (für \( \ln \)). Mit dem Basiswechselsatz kann man damit jeden Logarithmus berechnen:
Tipp: Es ist egal, ob du lg oder ln für den Basiswechsel verwendest – das Ergebnis ist dasselbe!
Übungen
Berechne ohne Taschenrechner: \( \lg(10\,000) \)
Berechne: \( \ln(e^5) \)
Berechne: \( \lg(0{,}001) \)
Welche Formel berechnet \( \log_7(100) \) mit dem Taschenrechner?
Berechne: \( e^{\ln(7)} \)