Logarithmengesetze - Erklärung & Beispiele

Produktregel (Summenregel)

Der Logarithmus eines Produkts ist die Summe der Logarithmen der einzelnen Faktoren:

Produktregel

\( \log_b(a \cdot c) = \log_b(a) + \log_b(c) \)

Beweis

Seien \( \log_b(a) = m \) und \( \log_b(c) = n \), also \( b^m = a \) und \( b^n = c \).

Dann: \( a \cdot c = b^m \cdot b^n = b^{m+n} \)

Also: \( \log_b(a \cdot c) = m + n = \log_b(a) + \log_b(c) \)

Beispiel: \( \log_2(8 \cdot 4) = \log_2(8) + \log_2(4) = 3 + 2 = 5 \)

Probe: \( \log_2(32) = 5 \) ✓

Der Logarithmus eines Quotienten ist die Differenz der Logarithmen:

Quotientenregel

\( \log_b\!\left(\frac{a}{c}\right) = \log_b(a) - \log_b(c) \)

Beispiel: \( \log_3\!\left(\frac{81}{3}\right) = \log_3(81) - \log_3(3) = 4 - 1 = 3 \)

Probe: \( \log_3(27) = 3 \) ✓

Spezialfall: \( \log_b\!\left(\frac{1}{a}\right) = \log_b(1) - \log_b(a) = 0 - \log_b(a) = -\log_b(a) \)

Der Logarithmus einer Potenz zieht den Exponenten als Faktor vor:

Potenzregel

\( \log_b(a^n) = n \cdot \log_b(a) \)

Beweis

Sei \( \log_b(a) = m \), also \( b^m = a \).

Dann: \( a^n = (b^m)^n = b^{m \cdot n} \)

Also: \( \log_b(a^n) = m \cdot n = n \cdot \log_b(a) \)

Beispiel: \( \log_2(4^5) = 5 \cdot \log_2(4) = 5 \cdot 2 = 10 \)

Probe: \( 4^5 = 1024 = 2^{10} \) ✓

Tipp: Die Potenzregel gilt auch für rationale Exponenten: \( \log_b(\sqrt{a}) = \log_b(a^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{2} \cdot \log_b(a) \)

Man kann einen Logarithmus zu einer beliebigen Basis durch Logarithmen einer anderen Basis ausdrücken:

Basiswechselsatz

\( \log_b(x) = \frac{\log_c(x)}{\log_c(b)} \)

Beweis

Sei \( \log_b(x) = y \), also \( b^y = x \).

Logarithmiere beide Seiten zur Basis \( c \): \( \log_c(b^y) = \log_c(x) \)

Potenzregel: \( y \cdot \log_c(b) = \log_c(x) \)

Also: \( y = \frac{\log_c(x)}{\log_c(b)} \)

Praxis: Mit dem Taschenrechner (der nur lg und ln hat) kann man jeden Logarithmus berechnen:

\( \log_b(x) = \frac{\lg(x)}{\lg(b)} = \frac{\ln(x)}{\ln(b)} \)

Beispiel: \( \log_3(20) = \frac{\lg(20)}{\lg(3)} = \frac{1{,}301}{0{,}477} \approx 2{,}727 \)

Gesetz	Formel
Produktregel	\( \log_b(a \cdot c) = \log_b(a) + \log_b(c) \)
Quotientenregel	\( \log_b\!\left(\frac{a}{c}\right) = \log_b(a) - \log_b(c) \)
Potenzregel	\( \log_b(a^n) = n \cdot \log_b(a) \)
Basiswechsel	\( \log_b(x) = \frac{\log_c(x)}{\log_c(b)} \)