Der Fundamentalsatz
Jedes Polynom \( p(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_1 x + a_0 \) mit \( n \geq 1 \) und \( a_n \neq 0 \) hat in \( \mathbb{C} \) mindestens eine Nullstelle.
Daraus folgt durch wiederholtes Abspalten von Linearfaktoren:
\( p(x) = a_n (x - z_1)(x - z_2) \cdots (x - z_n) \)
wobei \( z_1, z_2, \ldots, z_n \in \mathbb{C} \) die Nullstellen sind (nicht notwendig verschieden).
Wichtig: Ein Polynom vom Grad \( n \) hat genau \( n \) komplexe Nullstellen, wenn man jede Nullstelle entsprechend ihrer Vielfachheit zählt.
Vielfachheit von Nullstellen
Eine Nullstelle \( z_0 \) hat die Vielfachheit \( k \), wenn \( (x - z_0)^k \) das Polynom teilt, aber \( (x - z_0)^{k+1} \) nicht.
\( p(x) = (x-1)^2(x+3) = x^3 + x^2 - 5x + 3 \)
Grad 3 mit den Nullstellen:
- \( x_1 = 1 \) mit Vielfachheit 2 (doppelte Nullstelle)
- \( x_2 = -3 \) mit Vielfachheit 1 (einfache Nullstelle)
Summe der Vielfachheiten: \( 2 + 1 = 3 = \) Grad des Polynoms
Konjugierte Nullstellen
Für Polynome mit reellen Koeffizienten gilt ein wichtiger Zusatz:
Ist \( z_0 = a + bi \) (mit \( b \neq 0 \)) eine Nullstelle eines Polynoms mit reellen Koeffizienten, dann ist auch \( \overline{z_0} = a - bi \) eine Nullstelle.
Komplexe Nullstellen treten also immer paarweise konjugiert auf.
Folgerung: Ein Polynom ungeraden Grades mit reellen Koeffizienten hat immer mindestens eine reelle Nullstelle (da die komplexen Nullstellen paarweise auftreten, bleibt mindestens eine "übrig").
\( p(x) = x^2 + 1 \)
Nullstellen: \( x^2 = -1 \Rightarrow x = i \) und \( x = -i \)
Linearfaktorzerlegung: \( x^2 + 1 = (x - i)(x + i) \)
Die Nullstellen \( i \) und \( -i \) sind konjugiert komplex.
Weitere Beispiele
\( p(x) = x^4 - 1 \)
Faktorisierung: \( x^4 - 1 = (x^2-1)(x^2+1) = (x-1)(x+1)(x-i)(x+i) \)
Vier Nullstellen: \( 1, -1, i, -i \)
\( p(x) = x^2 - 2x + 5 \)
Diskriminante: \( D = 4 - 20 = -16 < 0 \)
\( x_{1,2} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = \frac{2 \pm 4i}{2} = 1 \pm 2i \)
Zwei konjugiert komplexe Nullstellen: \( 1+2i \) und \( 1-2i \)
Bedeutung des Satzes
Warum ist der Fundamentalsatz so wichtig?
- Er zeigt, dass \( \mathbb{C} \) algebraisch abgeschlossen ist -- jede polynomiale Gleichung ist dort lösbar
- Man braucht keine weitere Zahlbereichserweiterung über \( \mathbb{C} \) hinaus
- Jedes Polynom lässt sich vollständig in Linearfaktoren zerlegen
- Der Satz wurde erstmals 1799 von Carl Friedrich Gauß bewiesen
Zusammenfassung
Jedes Polynom vom Grad \( n \) hat genau \( n \) komplexe Nullstellen (mit Vielfachheit)
Linearfaktorzerlegung: \( p(x) = a_n(x-z_1)(x-z_2)\cdots(x-z_n) \)
Bei reellen Koeffizienten treten komplexe Nullstellen paarweise konjugiert auf
\( \mathbb{C} \) ist algebraisch abgeschlossen
Übungen
Wie viele komplexe Nullstellen (mit Vielfachheit) hat das Polynom \( p(x) = x^5 - 3x^3 + x \)?
Ein Polynom mit reellen Koeffizienten hat die Nullstelle \( z = 2 + 3i \). Welche weitere Nullstelle muss es haben?
Bestimme alle Nullstellen von \( p(x) = x^2 + 9 \) in \( \mathbb{C} \).
Bestimme die Nullstellen von \( p(x) = x^2 - 4x + 13 \) in \( \mathbb{C} \).