Zinseszinsformel

Beim Zinseszins werden die Zinsen am Ende jeder Periode zum Kapital addiert und in der nächsten Periode mitverzinst:

Zinseszinsformel

\( K_n = K_0 \cdot \left(1 + \frac{p}{100}\right)^n = K_0 \cdot q^n \)

mit dem Aufzinsungsfaktor \( q = 1 + \frac{p}{100} \)

\( K_0 \) = Anfangskapital, \( p \) = Zinssatz in %, \( n \) = Anzahl der Perioden, \( K_n \) = Kapital nach \( n \) Perioden

Beispiel

1000 Euro werden zu 3 % p.a. angelegt. Wie viel Kapital hat man nach 10 Jahren?

1
\( K_0 = 1000, \, p = 3, \, q = 1{,}03, \, n = 10 \)
2
\( K_{10} = 1000 \cdot 1{,}03^{10} = 1000 \cdot 1{,}3439 \approx 1343{,}92 \) Euro

Verdopplungszeit

Wann hat sich das Kapital verdoppelt? Setze \( K_n = 2 \cdot K_0 \):

Verdopplungszeit
\( n = \frac{\ln(2)}{\ln(q)} = \frac{\ln(2)}{\ln\!\left(1 + \frac{p}{100}\right)} \)
Beispiel

Bei \( p = 4\% \): \( n = \frac{\ln(2)}{\ln(1{,}04)} = \frac{0{,}693}{0{,}0392} \approx 17{,}67 \) Jahre

72er-Regel (Faustformel): \( n \approx \frac{72}{p} \). Bei 4 %: \( \frac{72}{4} = 18 \) Jahre -- eine gute Näherung!

Rentenrechnung

Bei der Rentenrechnung wird neben der Verzinsung regelmäßig ein fester Betrag \( R \) eingezahlt (Sparplan) oder ausgezahlt (Rente).

Rentenendwert (nachschüssig)
\( K_n = R \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \)

Die Einzahlung erfolgt am Ende jeder Periode (nachschüssig). Der Rentenendwert ist die geometrische Reihe der aufgezinsten Raten.

Rentenendwert (vorschüssig)
\( K_n = R \cdot q \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \)

Bei vorschüssiger Zahlung (Einzahlung zu Beginn der Periode) wird jede Rate eine Periode länger verzinst.

Beispiel: Sparplan

Monatlich 200 Euro sparen bei 4 % p.a. (nachschüssig). Wie viel hat man nach 20 Jahren?

1
Monatsrate \( R = 200 \), Monatszins \( q = 1 + \frac{0{,}04}{12} = 1{,}00\overline{3} \), \( n = 240 \) Monate
2
\( K_{240} = 200 \cdot \frac{1{,}00\overline{3}^{240} - 1}{1{,}00\overline{3} - 1} \approx 200 \cdot \frac{2{,}2080 - 1}{0{,}003\overline{3}} \approx 200 \cdot 362{,}4 \approx 72\,482 \) Euro
3
Eingezahlt: \( 200 \cdot 240 = 48\,000 \) Euro. Zinserträge: ca. 24 482 Euro

Kreditrückzahlung

Bei einem Kredit zahlt man regelmäßig eine konstante Rate \( R \). Die Schuld sinkt bei jeder Zahlung:

Annuitätenformel (Rate berechnen)
\( R = K_0 \cdot \frac{q^n \cdot (q - 1)}{q^n - 1} \)
Beispiel: Autokredit

Kredit: 15 000 Euro, Zinssatz: 5 % p.a., Laufzeit: 5 Jahre (jährliche Rückzahlung)

1
\( K_0 = 15\,000, \, q = 1{,}05, \, n = 5 \)
2
\( R = 15\,000 \cdot \frac{1{,}05^5 \cdot 0{,}05}{1{,}05^5 - 1} = 15\,000 \cdot \frac{1{,}2763 \cdot 0{,}05}{0{,}2763} \approx 15\,000 \cdot 0{,}2310 \approx 3464{,}62 \) Euro pro Jahr

Übungen

Aufgabe 1Leicht

5000 Euro werden zu 2 % p.a. angelegt. Wie viel Kapital hat man nach 5 Jahren (gerundet)?

Aufgabe 2Leicht

Wie lautet der Aufzinsungsfaktor \( q \) bei einem Zinssatz von 6 %?

Aufgabe 3Mittel

Nach wie vielen Jahren verdoppelt sich ein Kapital bei 6 % Zinsen? (72er-Regel)

Aufgabe 4Schwer

Jährlich werden 1000 Euro bei 5 % p.a. nachschüssig eingezahlt. Wie viel Kapital hat man nach 10 Jahren (gerundet)?

Aufgabe 5Schwer

Welcher Zinssatz \( p \) führt dazu, dass sich 2000 Euro in 15 Jahren auf 4000 Euro verdoppeln?