Definition & Formel

Eine Folge \( (a_n) \) heißt geometrisch, wenn der Quotient \( q = \frac{a_{n+1}}{a_n} \) für alle \( n \) konstant ist (\( a_n \neq 0 \)).

Explizite Formel
\( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \)
Rekursive Formel
\( a_{n+1} = a_n \cdot q \quad \text{mit Startwert } a_1 \)

\( a_1 \) = erstes Glied, \( q \) = Quotient (common ratio)

Ist \( q > 1 \): exponentielles Wachstum. Ist \( 0 < q < 1 \): exponentieller Zerfall.

Ist \( q < 0 \): alternierende Folge (Vorzeichen wechselt).

Beispiele

Beispiel 1: Wachstum (\( q = 2 \))

\( a_1 = 3, \, q = 2 \): Folge: \( 3, 6, 12, 24, 48, 96, \ldots \)

Formel: \( a_n = 3 \cdot 2^{n-1} \)

\( a_8 = 3 \cdot 2^7 = 3 \cdot 128 = 384 \)

Beispiel 2: Zerfall (\( q = \frac{1}{2} \))

\( a_1 = 160, \, q = \frac{1}{2} \): Folge: \( 160, 80, 40, 20, 10, \ldots \)

Formel: \( a_n = 160 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \)

\( a_6 = 160 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^5 = 160 \cdot \frac{1}{32} = 5 \)

Beispiel 3: Negativer Quotient (\( q = -3 \))

\( a_1 = 1, \, q = -3 \): Folge: \( 1, -3, 9, -27, 81, \ldots \)

Das Vorzeichen wechselt bei jedem Glied.

Quotient und Startwert bestimmen

Aus zwei Gliedern lassen sich \( q \) und \( a_1 \) berechnen:

Quotient aus zwei Gliedern
\( q = \left(\frac{a_m}{a_k}\right)^{\frac{1}{m-k}} \)
Beispiel

Gegeben: \( a_2 = 6 \) und \( a_5 = 162 \). Bestimme \( q \) und \( a_1 \).

1
\( \frac{a_5}{a_2} = \frac{162}{6} = 27 = q^{5-2} = q^3 \)
2
\( q = \sqrt[3]{27} = 3 \)
3
\( a_1 = \frac{a_2}{q} = \frac{6}{3} = 2 \)

Geometrisches Mittel

In einer geometrischen Folge ist jedes Glied das geometrische Mittel seiner Nachbarn:

Geometrisches Mittel
\( a_n = \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}} \quad \text{(für } a_n > 0\text{)} \)

Vergleich: Arithmetische Folge: Mittelwert durch Addition: \( a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \). Geometrische Folge: Mittelwert durch Multiplikation: \( a_n = \sqrt{a_{n-1} \cdot a_{n+1}} \).

Übungen

Aufgabe 1Leicht

Geometrische Folge mit \( a_1 = 5 \) und \( q = 3 \). Berechne \( a_4 \).

Aufgabe 2Leicht

Welchen Quotienten hat die Folge \( 4, 12, 36, 108, \ldots \)?

Aufgabe 3Mittel

Gegeben: \( a_1 = 1000, \, q = 0{,}5 \). Berechne \( a_5 \).

Aufgabe 4Mittel

Gegeben: \( a_3 = 18 \) und \( a_5 = 162 \). Bestimme \( q \).

Aufgabe 5Schwer

Eine Bakterienkultur verdoppelt sich stündlich. Anfangs sind 500 Bakterien vorhanden. Wie viele sind es nach 10 Stunden?