Arithmetische Reihen - Erklärung & Beispiele

Was ist eine arithmetische Reihe?

Die arithmetische Reihe \( S_n \) ist die Summe der ersten \( n \) Glieder einer arithmetischen Folge:

Definition

\( S_n = a_1 + a_2 + a_3 + \cdots + a_n = \sum_{k=1}^{n} a_k \)

Beispiel: Für die Folge \( 1, 2, 3, 4, 5 \) ist \( S_5 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 \).

Es gibt zwei äquivalente Formen der Summenformel:

Summenformel (Form 1)

\( S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \)

Summenformel (Form 2)

\( S_n = \frac{n}{2} \cdot \big(2a_1 + (n-1) \cdot d\big) \)

Form 1 verwendet man, wenn das letzte Glied \( a_n \) bekannt ist. Form 2, wenn man nur \( a_1 \), \( d \) und \( n \) kennt.

Carl Friedrich Gauß soll als Schüler die Summe \( 1 + 2 + 3 + \cdots + 100 \) blitzschnell berechnet haben. Seine Idee:

Der Gauß-Trick

Schreibe die Summe zweimal -- einmal vorwärts, einmal rückwärts:

\( S_n = a_1 + a_2 + \cdots + a_{n-1} + a_n \)

\( S_n = a_n + a_{n-1} + \cdots + a_2 + a_1 \)

Addiere spaltenweise: Jedes Paar ergibt \( a_1 + a_n \).

\( 2S_n = n \cdot (a_1 + a_n) \)

\( S_n = \frac{n}{2} \cdot (a_1 + a_n) \)

Gauß' Rechnung: \( S_{100} = \frac{100}{2} \cdot (1 + 100) = 50 \cdot 101 = 5050 \)

Beispiel 1

Berechne die Summe der ersten 20 Glieder der Folge \( 5, 8, 11, 14, \ldots \)

\( a_1 = 5, \, d = 3, \, n = 20 \)

\( a_{20} = 5 + 19 \cdot 3 = 5 + 57 = 62 \)

\( S_{20} = \frac{20}{2} \cdot (5 + 62) = 10 \cdot 67 = 670 \)

Beispiel 2

Wie viele Glieder muss man addieren, damit \( S_n = 210 \) für die Folge \( 1, 3, 5, 7, \ldots \)?

\( a_1 = 1, \, d = 2 \). Einsetzen: \( 210 = \frac{n}{2} \cdot (2 + (n-1) \cdot 2) \)

\( 210 = \frac{n}{2} \cdot 2n = n^2 \)

\( n = \sqrt{210} \approx 14{,}49 \) -- keine natürliche Zahl, also kann \( S_n \) nicht exakt 210 werden.

Prüfe: \( S_{14} = 14^2 = 196 \) und \( S_{15} = 15^2 = 225 \). Also: 14 Glieder ergeben 196, 15 Glieder ergeben 225.