Definition & Formel

Eine Folge \( (a_n) \) heißt arithmetisch, wenn die Differenz \( d = a_{n+1} - a_n \) für alle \( n \) konstant ist.

Explizite Formel
\( a_n = a_1 + (n - 1) \cdot d \)
Rekursive Formel
\( a_{n+1} = a_n + d \quad \text{mit Startwert } a_1 \)

\( a_1 \) = erstes Glied, \( d \) = konstante Differenz (common difference)

Ist \( d > 0 \), wächst die Folge. Ist \( d < 0 \), fällt sie. Ist \( d = 0 \), ist die Folge konstant.

Beispiele

Beispiel 1: \( a_1 = 3, \, d = 5 \)

Folge: \( 3, 8, 13, 18, 23, \ldots \)

Formel: \( a_n = 3 + (n-1) \cdot 5 = 5n - 2 \)

\( a_{10} = 5 \cdot 10 - 2 = 48 \)

Beispiel 2: \( a_1 = 100, \, d = -7 \)

Folge: \( 100, 93, 86, 79, 72, \ldots \)

Formel: \( a_n = 100 + (n-1) \cdot (-7) = 107 - 7n \)

\( a_{15} = 107 - 7 \cdot 15 = 107 - 105 = 2 \)

Differenz und Startwert bestimmen

Aus zwei Gliedern der Folge kann man \( d \) und \( a_1 \) berechnen:

Differenz aus zwei Gliedern
\( d = \frac{a_m - a_k}{m - k} \)
Beispiel

Gegeben: \( a_3 = 11 \) und \( a_7 = 27 \). Bestimme \( d \) und \( a_1 \).

1
\( d = \frac{a_7 - a_3}{7 - 3} = \frac{27 - 11}{4} = \frac{16}{4} = 4 \)
2
\( a_1 = a_3 - 2d = 11 - 2 \cdot 4 = 3 \)
3
Formel: \( a_n = 3 + (n-1) \cdot 4 = 4n - 1 \)

Arithmetisches Mittel

In einer arithmetischen Folge ist jedes Glied das arithmetische Mittel seiner beiden Nachbarn:

Arithmetisches Mittel
\( a_n = \frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2} \)

Diese Eigenschaft kann man nutzen, um zu prüfen, ob eine Folge arithmetisch ist.

Tipp: Drei Zahlen \( a, b, c \) bilden genau dann eine arithmetische Folge, wenn \( b = \frac{a+c}{2} \), also \( 2b = a + c \).

Übungen

Aufgabe 1Leicht

Arithmetische Folge mit \( a_1 = 2 \) und \( d = 3 \). Berechne \( a_8 \).

Aufgabe 2Leicht

Welche Differenz hat die Folge \( 7, 12, 17, 22, \ldots \)?

Aufgabe 3Mittel

Gegeben: \( a_4 = 17 \) und \( d = 4 \). Berechne \( a_1 \).

Aufgabe 4Mittel

Gegeben: \( a_2 = 10 \) und \( a_6 = 26 \). Bestimme \( d \).

Aufgabe 5Schwer

Welches Glied der Folge \( a_n = 3n + 2 \) hat den Wert \( 77 \)?