📊 Statistik 3.-4. Klasse

Kombinatorik

Die Kombinatorik beantwortet die Frage: „Wie viele Möglichkeiten gibt es?" Ob Passwörter, Sitzordnungen oder Lottozahlen - mit den richtigen Zählprinzipien kannst du die Anzahl der Möglichkeiten systematisch bestimmen.

Schon in der Oberstufe? In der 6. Klasse kommt der Binomialkoeffizient dazu, mit dem sich Kombinationen kompakt schreiben lassen. Diese Seite erklärt die vier Grundfälle mit Produktregel und Fakultät.

Die Produktregel

Produktregel (Fundamentalprinzip)

Anzahl = \(n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot ...\)

Wenn mehrere Entscheidungen nacheinander getroffen werden, multipliziere die Möglichkeiten

Beispiel: Outfit

3 Hosen, 5 T-Shirts, 2 Paar Schuhe.

Mögliche Outfits: \(3 \cdot 5 \cdot 2 = \mathbf{30}\)

Beispiel: PIN-Code (4 Ziffern, 0-9)

Jede Stelle: 10 Möglichkeiten → \(10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 = 10^4 = \mathbf{10.000}\)

Die Fakultät

Fakultät

\(n! = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot ... \cdot 2 \cdot 1\)

Lies: „n Fakultät". Per Definition gilt: \(0! = 1\)

\(n\)	\(n!\)	Berechnung
1	1	1
2	2	2 · 1
3	6	3 · 2 · 1
4	24	4 · 3 · 2 · 1
5	120	5 · 4 · 3 · 2 · 1
6	720	6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1
10	3.628.800	wächst extrem schnell!

Permutation (Anordnungen)

Permutation

\(n\) Objekte anordnen → \(n!\) Möglichkeiten

Frage: Auf wie viele Arten kann man \(n\) Dinge in eine Reihenfolge bringen?

Beispiel: 4 Schüler auf 4 Stühle

1. Stuhl: 4 Möglichkeiten

2. Stuhl: 3 übrig

3. Stuhl: 2 übrig

4. Stuhl: 1 übrig

✓

\(4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = \mathbf{24}\) Anordnungen

Variation (Auswahl mit Reihenfolge)

Variation ohne Wiederholung

\(k\) aus \(n\) auswählen (Reihenfolge wichtig): \(\frac{n!}{(n-k)!}\)

Beispiel: 3 Medaillen (Gold, Silber, Bronze) für 10 Sportler

\(\frac{10!}{7!} = 10 \cdot 9 \cdot 8 = \mathbf{720}\) Möglichkeiten

Kombination (Auswahl ohne Reihenfolge)

Kombination ohne Wiederholung (Binomialkoeffizient)

\(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}\)

\(k\) aus \(n\) auswählen, Reihenfolge egal

Beispiel: 3 Schüler aus 10 für ein Team wählen

\(\binom{10}{3} = \frac{10!}{3! \cdot 7!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = \frac{720}{6} = \mathbf{120}\)

Welche Formel wann?

Frage	Reihenfolge?	Formel
Alle anordnen	Ja	\(n!\) (Permutation)
\(k\) aus \(n\) auswählen	Ja	\(\frac{n!}{(n-k)!}\) (Variation)
\(k\) aus \(n\) auswählen	Nein	\(\binom{n}{k}\) (Kombination)
Mehrere Entscheidungen	-	Produktregel

Eselsbrücke: Reihenfolge wichtig? → Variation. Reihenfolge egal? → Kombination. Alles anordnen? → Permutation.

Häufige Fehler vermeiden

Reihenfolge übersehen: „Team bilden" = Kombination (egal wer zuerst). „Platzierung" = Variation (Reihenfolge wichtig).
Mit/ohne Wiederholung verwechseln: PIN-Code = mit Wiederholung. Lotto = ohne Wiederholung.
Fakultät falsch berechnen: \(5! = 120\), nicht \(5! = 5 \cdot 4 = 20\) → alle Faktoren bis 1 multiplizieren!
0! vergessen: \(0! = 1\) (per Definition), nicht 0.

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