Die Scheitelpunktform

Scheitelpunktform
\(f(x) = a(x - d)^2 + e\)

Scheitelpunkt \(S(d|e)\), \(a\) bestimmt Öffnung und Streckung

ParameterBedeutungEinfluss auf den Graph
\(d\)x-Koordinate des ScheitelpunktsVerschiebung nach rechts (\(d > 0\)) oder links (\(d < 0\))
\(e\)y-Koordinate des ScheitelpunktsVerschiebung nach oben (\(e > 0\)) oder unten (\(e < 0\))
\(a > 0\)Öffnung nach obenScheitelpunkt ist Tiefpunkt (Minimum)
\(a < 0\)Öffnung nach untenScheitelpunkt ist Hochpunkt (Maximum)
\(|a| > 1\)Parabel ist engerGestreckt
\(|a| < 1\)Parabel ist breiterGestaucht

⚠️ Vorzeichen-Falle: In der Formel steht \((x \mathbf{-} d)\). Wenn dort \((x + 3)\) steht, dann ist \(d = -3\) (nicht +3)! Der Scheitelpunkt liegt bei \(x = -3\).

Scheitelpunkt ablesen

Beispiel 1: \(f(x) = 2(x - 3)^2 + 4\)
1
Vergleich mit \(a(x - d)^2 + e\): \(a = 2\), \(d = 3\), \(e = 4\)
2
Scheitelpunkt: \(S(3|4)\)
3
\(a = 2 > 0\) → nach oben geöffnet → S ist Tiefpunkt
Beispiel 2: \(f(x) = -(x + 2)^2 - 1\)
1
\((x + 2) = (x - (-2))\) → also \(d = -2\), \(e = -1\)
2
Scheitelpunkt: \(S(-2|-1)\)
3
\(a = -1 < 0\) → nach unten geöffnet → S ist Hochpunkt

Von Normalform zur Scheitelpunktform

Die Normalform lautet \(f(x) = ax^2 + bx + c\). Um daraus die Scheitelpunktform zu bekommen, verwendest du die quadratische Ergänzung:

Scheitelpunkt aus Normalform
\(d = -\frac{b}{2a}\), \quad e = c - \frac{b^2}{4a}\)

Oder: \(e = f(d)\) (d in die Funktion einsetzen)

Beispiel: \(f(x) = x^2 - 6x + 5\) → Scheitelpunktform
1
\(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 5\)
2
\(d = -\frac{-6}{2 \cdot 1} = \frac{6}{2} = 3\)
3
\(e = 5 - \frac{(-6)^2}{4 \cdot 1} = 5 - \frac{36}{4} = 5 - 9 = -4\)
4
Scheitelpunktform: \(f(x) = (x - 3)^2 - 4\), Scheitelpunkt \(S(3|-4)\)

Von Scheitelpunktform zur Normalform

Einfach die Klammer ausmultiplizieren:

Beispiel: \(f(x) = 2(x - 1)^2 + 3\) → Normalform
1
\(f(x) = 2(x^2 - 2x + 1) + 3\)
2
\(f(x) = 2x^2 - 4x + 2 + 3\)
3
\(f(x) = 2x^2 - 4x + 5\)

Häufige Fehler vermeiden

  • Vorzeichen von d verwechseln: Bei \((x + 3)^2\) ist \(d = -3\), nicht \(+3\)! In der Formel steht \((x \mathbf{-} d)\).
  • Scheitelpunktform falsch ablesen: \(f(x) = (x-2)^2 + 5\) hat Scheitelpunkt \(S(2|5)\), nicht \(S(-2|5)\).
  • Quadratische Ergänzung vergessen: Beim Umrechnen muss die „ergänzte" Zahl auch wieder subtrahiert werden.
  • Faktor a vergessen: Bei \(f(x) = 3(x-1)^2\) ist die Parabel 3-mal so eng wie die Normalparabel.

Übungen

Teste jetzt dein Wissen!

Aufgabe 1Leicht

Scheitelpunkt von \(f(x) = (x - 4)^2 + 2\)?

Aufgabe 2Leicht

Scheitelpunkt von \(f(x) = (x + 1)^2 - 3\)?

Aufgabe 3Mittel

Ist \(f(x) = -2(x-1)^2 + 5\) nach oben oder unten geöffnet?

Aufgabe 4Mittel

\(f(x) = x^2 - 4x + 7\). Wo liegt der Scheitelpunkt?

Aufgabe 5Schwer

Welche Normalform hat \(f(x) = (x - 2)^2 - 1\)?

Aufgabe 6Schwer

Scheitelpunktform von \(f(x) = x^2 + 2x - 3\)?

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