Die pq-Formel

Jede quadratische Gleichung in Normalform (also mit Vorfaktor 1 vor \(x^2\)) lässt sich mit der pq-Formel lösen:

Normalform
\(x^2 + px + q = 0\)
pq-Formel
\(x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}\)

⚠️ Voraussetzung: Die Gleichung muss in Normalform sein – das heißt, vor \(x^2\) steht eine 1. Falls nicht, musst du zuerst durch den Vorfaktor dividieren!

Schritt-für-Schritt-Anleitung

Anleitung: pq-Formel anwenden
1
Gleichung in Normalform bringen: \(x^2 + px + q = 0\)
2
\(p\) und \(q\) ablesen (mit Vorzeichen!)
3
In die pq-Formel einsetzen
4
Diskriminante \(D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q\) berechnen
5
\(x_1\) (mit +) und \(x_2\) (mit −) berechnen

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Zwei Lösungen

Löse: \(x^2 - 6x + 5 = 0\)
1
Normalform ✓ → \(p = -6\), \(q = 5\)
2
\(x_{1,2} = -\frac{-6}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-6}{2}\right)^2 - 5}\)
3
\(x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{9 - 5} = 3 \pm \sqrt{4} = 3 \pm 2\)
4
\(x_1 = 3 + 2 = \mathbf{5}\) und \(x_2 = 3 - 2 = \mathbf{1}\)

Beispiel 2: Eine Lösung (Doppellösung)

Löse: \(x^2 + 4x + 4 = 0\)
1
\(p = 4\), \(q = 4\)
2
\(x_{1,2} = -2 \pm \sqrt{4 - 4} = -2 \pm 0\)
3
\(x = \mathbf{-2}\) (Doppellösung)

Beispiel 3: Keine Lösung

Löse: \(x^2 + 2x + 5 = 0\)
1
\(p = 2\), \(q = 5\)
2
\(x_{1,2} = -1 \pm \sqrt{1 - 5} = -1 \pm \sqrt{-4}\)
3
Unter der Wurzel steht eine negative Zahl → keine reelle Lösung!

Beispiel 4: Erst Normalform herstellen

Löse: \(2x^2 - 8x + 6 = 0\)
1
Durch 2 dividieren: \(x^2 - 4x + 3 = 0\)
2
\(p = -4\), \(q = 3\)
3
\(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 - 3} = 2 \pm 1\)
4
\(x_1 = 3\), \(x_2 = 1\)

Die Diskriminante

Der Ausdruck unter der Wurzel entscheidet, wie viele Lösungen es gibt:

Diskriminante
\(D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q\)
DiskriminanteAnzahl LösungenBedeutung
\(D > 0\)Zwei LösungenParabel schneidet x-Achse zweimal
\(D = 0\)Eine Lösung (Doppellösung)Parabel berührt x-Achse
\(D < 0\)Keine reelle LösungParabel liegt komplett über/unter x-Achse

Große Lösungsformel (abc-Formel)

Alternativ zur pq-Formel gibt es die große Lösungsformel (abc-Formel), die direkt auf die allgemeine Form \(ax^2 + bx + c = 0\) anwendbar ist:

Große Lösungsformel (abc-Formel)
\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
Eigenschaftpq-Formelabc-Formel
VoraussetzungNormalform (\(a = 1\))Allgemeine Form
VorteilEinfacher zu merkenKein Umformen nötig
In AT/DE üblich?Sehr verbreitetAuch verbreitet

Zusammenhang mit Vieta

Der Satz von Vieta liefert einen eleganten Zusammenhang zwischen den Lösungen und den Koeffizienten:

Satz von Vieta
\(x_1 + x_2 = -p\) und \(x_1 \cdot x_2 = q\)

Nützlich zur Kontrolle der Ergebnisse!

Kontrolle für Beispiel 1: \(x_1 = 5\), \(x_2 = 1\), \(p = -6\), \(q = 5\)

Summe: \(5 + 1 = 6 = -(-6)\) ✓ | Produkt: \(5 \cdot 1 = 5 = q\) ✓

Häufige Fehler vermeiden

  • Nicht in Normalform: Vor \(x^2\) muss eine 1 stehen! Bei \(3x^2 + 6x + 3 = 0\) erst durch 3 teilen.
  • Vorzeichen von p vergessen: Bei \(x^2 - 6x + 5 = 0\) ist \(p = -6\), nicht 6. Das Vorzeichen gehört zum Koeffizienten!
  • Minus vor \(\frac{p}{2}\) vergessen: In der Formel steht \(-\frac{p}{2}\). Bei \(p = -6\) wird das zu \(-\frac{-6}{2} = +3\).
  • Wurzel aus negativer Zahl: Wenn unter der Wurzel eine negative Zahl steht, gibt es keine reelle Lösung – nicht weiterrechnen!
  • ± vergessen: Es gibt (meist) zwei Lösungen: eine mit + und eine mit −.

Übungen

Teste jetzt dein Wissen!

Aufgabe 1Leicht

\(x^2 - 2x - 3 = 0\). Was sind p und q?

Aufgabe 2Leicht

Wann hat eine quadratische Gleichung keine Lösung?

Aufgabe 3Mittel

Löse: \(x^2 - 5x + 6 = 0\)

Aufgabe 4Mittel

Löse: \(x^2 + 8x + 16 = 0\)

Aufgabe 5Schwer

Löse: \(2x^2 - 10x + 12 = 0\)

Aufgabe 6Schwer

Hat \(x^2 + x + 1 = 0\) eine Lösung?

🎯 Dein Ergebnis
0 / 6 richtig