Was sind Nullstellen?
Nullstelle
\(f(x_0) = 0\) → \(x_0\) ist eine Nullstelle von \(f\)
Setze \(f(x) = 0\) und löse nach \(x\) auf
Grafische Bedeutung: An einer Nullstelle schneidet (oder berührt) der Graph die x-Achse.
Lineare Funktionen (\(f(x) = kx + d\))
Lineare Funktionen haben genau eine Nullstelle (falls \(k \neq 0\)):
Beispiel: \(f(x) = 2x - 6\)
1
\(2x - 6 = 0\)
2
\(2x = 6\)
3
\(x = 3\) → Nullstelle bei \(x_0 = 3\)
Quadratische Funktionen (\(f(x) = ax^2 + bx + c\))
Quadratische Funktionen haben 0, 1 oder 2 Nullstellen. Die Methode hängt von der Form ab:
Methode 1: pq-Formel (Normalform)
pq-Formel für \(x^2 + px + q = 0\)
\(x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q}\)
Beispiel: \(f(x) = x^2 - 4x + 3\)
1
\(p = -4\), \(q = 3\)
2
\(x_{1,2} = 2 \pm \sqrt{4 - 3} = 2 \pm 1\)
3
\(x_1 = 3\), \(x_2 = 1\)
Methode 2: Ausklammern (kein Absolutglied)
Beispiel: \(f(x) = x^2 - 5x\)
1
Ausklammern: \(x(x - 5) = 0\)
2
\(x_1 = 0\), \(x_2 = 5\)
Methode 3: Wurzel ziehen (kein linearer Term)
Beispiel: \(f(x) = 2x^2 - 18\)
1
\(2x^2 = 18\) → \(x^2 = 9\)
2
\(x = \pm 3\) → \(x_1 = 3\), \(x_2 = -3\)
Anzahl der Nullstellen (Diskriminante)
| \(D = \left(\frac{p}{2}\right)^2 - q\) | Nullstellen | Graph |
|---|---|---|
| \(D > 0\) | Zwei Nullstellen | Parabel schneidet x-Achse |
| \(D = 0\) | Eine Nullstelle (doppelt) | Parabel berührt x-Achse |
| \(D < 0\) | Keine Nullstelle | Parabel liegt über/unter x-Achse |
Welche Methode wählen?
| Funktionstyp | Erkennungsmerkmal | Methode |
|---|---|---|
| \(kx + d\) | Kein \(x^2\) | Umformen |
| \(ax^2 + c\) | Kein \(x\)-Term | Wurzel ziehen |
| \(ax^2 + bx\) | Kein Absolutglied | Ausklammern |
| \(x^2 + px + q\) | Normalform | pq-Formel |
| \(ax^2 + bx + c\) | Allgemeine Form | abc-Formel oder durch \(a\) teilen |
Häufige Fehler vermeiden
- Nicht \(= 0\) gesetzt: Die Nullstellenberechnung startet immer mit \(f(x) = 0\)!
- ± vergessen: Bei \(x^2 = 9\) gibt es zwei Lösungen: \(x = +3\) und \(x = -3\).
- Ausklammern übersehen: Bei \(x^2 - 3x = 0\) nicht die pq-Formel verwenden – Ausklammern ist einfacher!
- Nullstelle \(x = 0\) vergessen: Beim Ausklammern von \(x\) ist \(x_1 = 0\) immer eine Lösung.
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Aufgabe 1Leicht
Nullstelle von \(f(x) = 3x - 9\)?
Aufgabe 2Leicht
Nullstellen von \(f(x) = x^2 - 16\)?
Aufgabe 3Mittel
Nullstellen von \(f(x) = x^2 + 2x\)?
Aufgabe 4Mittel
Hat \(f(x) = x^2 + 1\) Nullstellen?
Aufgabe 5Schwer
Nullstellen von \(f(x) = x^2 - 6x + 9\)?
Aufgabe 6Schwer
Welche Methode für \(f(x) = 3x^2 - 12x\)?
Dein Ergebnis
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