📐 Trigonometrie 4. Klasse

Sinus, Cosinus und Tangens

Sinus, Cosinus und Tangens sind die drei grundlegenden Winkelfunktionen der Trigonometrie. Sie beschreiben Verhältnisse zwischen den Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks und ermöglichen es, aus bekannten Größen unbekannte Seiten oder Winkel zu berechnen.

Grundbegriffe im rechtwinkligen Dreieck

Bevor du mit den Winkelfunktionen rechnest, musst du die drei Seiten richtig benennen können – und zwar immer bezogen auf einen bestimmten Winkel \(\alpha\):

Bezeichnung	Beschreibung
Hypotenuse	Die längste Seite, liegt dem rechten Winkel gegenüber
Gegenkathete	Die Seite, die dem Winkel \(\alpha\) gegenüberliegt
Ankathete	Die Seite, die am Winkel \(\alpha\) anliegt (und nicht die Hypotenuse ist)

⚠️ Wichtig: Gegenkathete und Ankathete ändern sich, je nachdem welchen Winkel du betrachtest! Nur die Hypotenuse bleibt immer gleich.

Die drei Winkelfunktionen

Sinus

\(\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}\)

Cosinus

\(\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}\)

Tangens

\(\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}\)

Eselsbrücke „SOH-CAH-TOA": Sinus = Opposite/Hypotenuse | Cosinus = Adjacent/Hypotenuse | Tangens = Opposite/Adjacent

Der Tangens lässt sich auch aus Sinus und Cosinus berechnen:

Zusammenhang

\(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\)

Wann benutze ich welche Funktion?

Welche Winkelfunktion du brauchst, hängt davon ab, welche Seiten gegeben oder gesucht sind:

Gegeben / Gesucht	Funktion
Gegenkathete und Hypotenuse	Sinus
Ankathete und Hypotenuse	Cosinus
Gegenkathete und Ankathete	Tangens

Trick: Schau dir an, welche zwei der drei Seiten (Gegenkathete, Ankathete, Hypotenuse) beteiligt sind – dann weißt du sofort, welche Funktion passt.

Wichtige Werte

\(\alpha\)	\(\sin(\alpha)\)	\(\cos(\alpha)\)	\(\tan(\alpha)\)
0°	0	1	0
30°	0,500	0,866	0,577
45°	0,707	0,707	1,000
60°	0,866	0,500	1,732
90°	1	0	nicht definiert

Beobachtung: \(\sin(\alpha) = \cos(90° - \alpha)\). Zum Beispiel: \(\sin(30°) = \cos(60°) = 0{,}5\). Sinus und Cosinus sind „komplementär".

Rechenbeispiele

Beispiel 1: Seite berechnen (Sinus)

Beispiel: α = 40°, Hypotenuse c = 15 cm. Gegenkathete?

Gesucht: Gegenkathete → brauche Sinus

\(a = c \cdot \sin(\alpha) = 15 \cdot \sin(40°) = 15 \cdot 0{,}643\)

\(a \approx 9{,}64\) cm

Beispiel 2: Seite berechnen (Cosinus)

Beispiel: α = 35°, Hypotenuse c = 20 cm. Ankathete?

Gesucht: Ankathete → brauche Cosinus

\(b = c \cdot \cos(\alpha) = 20 \cdot \cos(35°) = 20 \cdot 0{,}819\)

\(b \approx 16{,}38\) cm

Beispiel 3: Winkel berechnen (Tangens)

Beispiel: Gegenkathete a = 6 cm, Ankathete b = 8 cm. Winkel α?

Gegeben: Gegen- und Ankathete → brauche Tangens

\(\tan(\alpha) = \frac{6}{8} = 0{,}75\)

\(\alpha = \tan^{-1}(0{,}75) \approx 36{,}87°\)

Alle Formeln auf einen Blick

Formel	Seite berechnen	Winkel berechnen
Sinus	\(a = c \cdot \sin(\alpha)\), \(c = \frac{a}{\sin(\alpha)}\)	\(\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{a}{c}\right)\)
Cosinus	\(b = c \cdot \cos(\alpha)\), \(c = \frac{b}{\cos(\alpha)}\)	\(\alpha = \cos^{-1}\left(\frac{b}{c}\right)\)
Tangens	\(a = b \cdot \tan(\alpha)\), \(b = \frac{a}{\tan(\alpha)}\)	\(\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)\)

Häufige Fehler vermeiden

Gegen- und Ankathete verwechseln: Immer fragen: „Gegenüber oder anliegend – bezogen auf welchen Winkel?"
Falsche Funktion wählen: Prüfe, welche Seiten gegeben/gesucht sind, und wähle danach die richtige Funktion.
Taschenrechner auf RAD: In der Schule rechnest du mit Grad (DEG) – stelle den Taschenrechner richtig ein!
Sinus und Cosinus verwechseln: Sinus = Gegenkathete/Hypotenuse, Cosinus = Ankathete/Hypotenuse.
Tangens bei 90°: \(\tan(90°)\) ist nicht definiert! Cosinus von 90° ist 0, also Division durch 0.

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