Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz)
Die Reihenfolge darf vertauscht werden – bei Addition und Multiplikation
\(3 + 7 = 7 + 3 = 10\) ✓
\(4 \cdot 5 = 5 \cdot 4 = 20\) ✓
⚠️ Nicht bei Subtraktion und Division! \(7 - 3 \neq 3 - 7\) und \(12 \div 4 \neq 4 \div 12\)
Assoziativgesetz (Verbindungsgesetz)
Die Klammern dürfen verschoben werden – bei Addition und Multiplikation
\(17 + 46 + 3 = 17 + 3 + 46 = 20 + 46 = 66\) (viel einfacher!)
\(25 \cdot 7 \cdot 4 = 25 \cdot 4 \cdot 7 = 100 \cdot 7 = 700\)
Distributivgesetz (Verteilungsgesetz)
Ausmultiplizieren: Jeder Summand wird einzeln multipliziert
\(3 \cdot (20 + 4) = 3 \cdot 20 + 3 \cdot 4 = 60 + 12 = 72\)
\(5 \cdot 98 = 5 \cdot (100 - 2) = 500 - 10 = 490\) (Kopfrechentrick!)
\(6 \cdot 8 + 6 \cdot 2 = 6 \cdot (8 + 2) = 6 \cdot 10 = 60\)
Überblick
| Gesetz | Gilt für | Bedeutung |
|---|---|---|
| Kommutativ | + und · | Reihenfolge vertauschen |
| Assoziativ | + und · | Klammern verschieben |
| Distributiv | · mit + oder − | Ausmultiplizieren / Ausklammern |
⚠️ Merke: Kommutativ- und Assoziativgesetz gelten nicht für Subtraktion und Division! Nur für Addition und Multiplikation.
Anwendung: Geschickt rechnen
\(37 + 48 + 13 = (37 + 13) + 48 = 50 + 48 = 98\)
\(7 \cdot 102 = 7 \cdot 100 + 7 \cdot 2 = 700 + 14 = 714\)
\(6 \cdot 49 = 6 \cdot 50 - 6 \cdot 1 = 300 - 6 = 294\)
\(4 \cdot 17 \cdot 25 = (4 \cdot 25) \cdot 17 = 100 \cdot 17 = 1.700\)
Häufige Fehler vermeiden
- Kommutativ bei Subtraktion anwenden: \(5 - 3 \neq 3 - 5\)! Nur bei + und · erlaubt.
- Distributiv vergessen: \(2 \cdot (3 + 4) = 2 \cdot 3 + 2 \cdot 4 = 14\), nicht \(2 \cdot 3 + 4 = 10\).
- Beim Ausklammern nicht alle Terme beachten: Jeder Summand muss den gleichen Faktor enthalten.
- Vorzeichen beim Distributivgesetz: \(3 \cdot (5 - 2) = 15 - 6 = 9\), nicht \(15 + 6\).
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Welches Gesetz sagt: \(a + b = b + a\)?
Gilt \(8 - 3 = 3 - 8\)?
\(4 \cdot (10 + 3) = \)?
\(25 \cdot 8 \cdot 4 = \)? (geschickt rechnen!)
\(7 \cdot 5 + 7 \cdot 3\) ausklammern:
\(6 \cdot 99\) schnell im Kopf: