Die Idee
Die Umkehrfunktion \(f^{-1}\) macht die Zuordnung von \(f\) rückgängig
\(f\): Celsius → Fahrenheit: \(f(x) = 1{,}8x + 32\)
\(f^{-1}\): Fahrenheit → Celsius: \(f^{-1}(y) = \frac{y - 32}{1{,}8}\)
Umkehrfunktion berechnen
Grafische Deutung
Warum? Wenn \(f\) den Punkt \((a|b)\) hat, dann hat \(f^{-1}\) den Punkt \((b|a)\) – x und y sind vertauscht. Das ist genau eine Spiegelung an \(y = x\).
Wann existiert eine Umkehrfunktion?
Nicht jede Funktion hat eine Umkehrfunktion! Sie muss bijektiv (= umkehrbar eindeutig) sein:
| Bedingung | Bedeutung | Grafisch |
|---|---|---|
| Streng monoton | Immer steigend ODER immer fallend | Jede waagrechte Linie trifft den Graphen höchstens einmal |
| Funktion | Umkehrbar? | Grund |
|---|---|---|
| \(f(x) = 2x + 1\) | ✓ Ja | Streng monoton steigend |
| \(f(x) = x^2\) (ganz) | ✗ Nein | \(f(2) = f(-2) = 4\) → nicht eindeutig |
| \(f(x) = x^2\) für \(x \geq 0\) | ✓ Ja | Eingeschränkt auf halbe Parabel |
Probe: Ist meine Umkehrfunktion richtig?
\(f(f^{-1}(x)) = 2 \cdot \frac{x-3}{2} + 3 = (x-3) + 3 = x\) ✓
Häufige Fehler vermeiden
- \(f^{-1}\) ist NICHT \(\frac{1}{f}\): \(f^{-1}(x) \neq \frac{1}{f(x)}\)! Es ist die Umkehr, nicht der Kehrwert.
- Vertauschen vergessen: x und y müssen wirklich getauscht werden.
- Definitionsbereich nicht einschränken: \(x^2\) braucht eine Einschränkung, um umkehrbar zu sein.
- Falsch aufgelöst: Nach dem Vertauschen sorgfältig nach y auflösen.
Übungen
Teste jetzt dein Wissen!
Umkehrfunktion von \(f(x) = x + 5\)?
Der Graph von \(f^{-1}\) entsteht durch Spiegelung an:
Umkehrfunktion von \(f(x) = 3x - 6\)?
Ist \(f(x) = x^2\) (für alle \(x \in \mathbb{R}\)) umkehrbar?
Umkehrfunktion von \(f(x) = \frac{x}{4} + 2\)?
Was bedeutet \(f^{-1}(x)\)?